Chủ đề này có 7 trả lời

[toilachinhtoi]

(Phỏng dịch từ bài Solving differential equations by symmetric groups của John Starrett trên American mathematic monthly , volume 114 no 9)

Vì sao những phương trình sau dể giải:
$\dfrac{dy}{dx}=f(x),\dfrac{dy}{dx}=g(y)?$
Tronng trường hợp thứ nhất thì ta nhận thấy slope dy/dx là độc lập với y, có nghĩa là nếu (x,y=f(x)) là một nghiệm thì (x,y+a) cũng là một nghiệm. Ta có thể biểu diễn điều này như sau: Tập E tất cả các nghiệm của phuơng trình thứ nhất thì nếu ta áp dụng translation theo hường y thì nó cũng là một nghiệm.

Tương tự cho phương trình thứ 2.

[l-adic_cohomology]

Có ai hứng thú trao đổi về Differential Galois theory không nhỉ? Mình chưa từng học ptvp hay ptvpdhr.

[Kakalotta]

Ngày xưa hồi năm hai (ba) đại học tôi cũng có học qua lý thuyết Galois vi phân, nhưng lâu ngày không dùng nên quên rồi. Nếu có ai discuss để nhớ lại chút cũng hay.

[toilachinhtoi]

@l-adic: Cậu trình bày về Galois vi phân đi. Tôi không biết cái này.

Chúng ta xem xét tiếp phương trình
$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{y^3+x^2y-x-y}{x^3+xy^2-x+y}$
Phương trình nay có vẻ rắc rối nhưng nếu ta đổi biến $x=rcos t, y=rsin t$ thì ta được dạng tách biến
$\dfrac{dr}{dt}=r(1-r^2)$
Họ nghiệm của phương trình này bất biến bởi những phép tịnh tiến theo hướng t.

Những ví dụ ở trên giúp ta phỏng đoán rằng:

Phỏng đoán 1: Một phương trình vi phân bậc nhất có thể đưa về dạng tách biến nếu tập nghiệm của nó bất biến dưới những phép tịnh tiến trong một hệ thống tọa độ nào đó (ở ví dụ trước ta thấy nếu ta dùng tọa độ cực thì đưa được phương trình về dạng tách biến).

Tổng quát hơn, giả sử ta có một phương trình vi phân bậc cao mà tập nghiệm của nó bất biến dưới một nhóm biến đổi được tham số hóa bởi n tham số. Ta sẽ tìm cách đưa về hệ thống tọa độ từng bước một để dần dần đưa phương trình bậc cao ban đầu về phương trình bậc thấp hơn.

Ý tưởng của Lie: Đây chính là ý tưởng của Lie. Đó là khi xét một phương trình (hay hệ phương trình) vi phân (hay đạo hàm riêng) ta xem xét nhóm đối xứng của tập các lời giải của nó. Điều này sẽ rất có ích khi ta muốn giảm bậc phương trình.

[l-adic_cohomology]

Về fundamental on Galois vi phân có lẽ có nhiều classical text book như Kolchin hay Magid... ngoài ra có lẽ nên xem Connes/Marcolli from Physics to number theory via NCG. Trong bài này 2 authors give treatment về tái chuẩn hóa dựa trên Riemann-Hilbert Correspondence và motivic Galois.

Theo tôi hiểu thì Galois vi phân được nghiên cứu từ cuối những năm 70 gì đó, không chỉ dừng lại tại nhóm Galois vi phân, người ta còn tìm ra nhóm Monodromy cho pt Fuchsian (chắc vì thế người ta nghiên cứu Tannakian Category, cái này connect cả number theory, lý thuyết biểu diễn, group theory và NCG).

Còn về paper của Connes/Marcolli thì viết rất rộng kết hợp nội lực từ nhiều ngành, hình học đại số, lý thuyết số, biểu diễn nhóm, vật lý toán, hình học không giao hoán... Nếu được thì hy vọng có thể trao đổi thêm, tôi cũng đang quan tâm thêm về phần Feynman motives, mixed Tate motives, flat bundles/connections.

TLCT chắc là thạo về ptvp, tôi thì không rành lắm (ngày xưa không chịu học), đại khái là to deal with Riemann-Hilbert problem người ta nghiên cứu pt Fuchsian trên P^1 sẽ dẫn tới biểu diễn monodromy ---> fundamental group schemes ---(Nori's work)---> Tannakian Category. Bài toán Riemann-Hilbert còn thể formulated by flat connection (Deligne's work), which refer to algebraic D-modules.

Tuy nhiên the main point thì tôi vẫn chưa hiểu là tất cả những cái này có thể kéo sang lý thuyết trừu tượng Motif của Grothendieck như thế nào, mà cụ thể là mixed Tate motives? Theo như Connes/Marcolli thì Motifs và NCG hoàn toàn tương tự nhau (??? how ???). Tôi thì hoàn toàn không biết gì về KK-theory/cyclic cohomology/Hopf đại số/quantum groups... nên không làm sao tự giải thích được phần này.

Ai có hứng thú thì thảo luận thêm, tôi chỉ là newbie trong cái này. Hy vọng chập chưởng trên diễn đàn với Kakalotta-TLCT sẽ hiểu ra thêm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi l-adic_cohomology: 30-12-2007 - 13:26

[etale_cohomology]

Ừ l-adic giới thiệu tiếp đi nhỉ. Mình give lại lên đây cái introduction non-abelian Hodge theory, cái mà l-adic cohomology định nói ở trên nhé.

Let $X \in \underline{Schm}/S$, where $S = Spec R$. A $S$-connection on an $\mathcal{O}_X$-modul $\mathcal{E} \in \underline{\mathcal{M}od}_{\mathcal{O}_X}$ là 1 ánh xạ $\nabla: E \rightarrow \Omega^1_{X/S} \otimes E$ cùng với Leibniz-rule:

$\nabla(x.e) = x\nabla(e)+e\otimes dx$

với $d: \mathcal{O}_X \rightarrow \Omega^1_{X/S}$ là universal derivation (xem mục Kähler Differential trong topic tập giải tích mầm hàm... box giải tích). $\nabla$ cảm sinh 1 ánh xạ $\nabla_i: E \otimes \Omega^i \rightarrow E \otimes \Omega^{i+1}, e \otimes \omega \rightarrow e \otimes d\omega+(-1)^i\nabla(e) \wedge \omega$.

1 connection/S được gọi là khả tích (integrable) if $\nabla_i \circ \nabla = 0$ or equivalent

$E \rightarrow E \otimes \Omega^1 \rightarrow E \otimes \Omega^2 \rightarrow ...$

is a complex (what we call deRham complex). Ta gọi $\nabla_i \circ \nabla $ là 1 curvature. 1 ví dụ quan trọng là Gauss-Manin connection được định nghĩa thông qua higher direct image, i.e, if $f: X \rightarrow Y $ morphism in $\underline{Sm-Var}/k$, so we take $R^ih_{*}\Omega^{*}_{X/Y}$.

Hôm nay tạm thế, hôm khác nói tiếp sang Riemann-Hilbert-correspondence / Higgs fields.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etale_cohomology: 03-01-2008 - 08:34

[motivic_cohomology]

to l-adic:

Tôi cũng võ vẽ tí cyclic cohomology, nhưng không mạnh, level chỉ trong tầm cuốn Introduction to homological algebra của Weibel, nói chung khá là purely algebra, nên không được mạnh như người học Noncommutative geometry.

to etale:

Đúng hôm Crystals với crystalline cohomology thì mình nghỉ, bữa nào lôi ra đọc lại đi.

[toilachinhtoi]

Cohomology family có thể giới thiểu cụ thể hơn về diferential Galois không?

Chúng ta giới thiệu cách tìm nhóm đối xứng cho phương trình vi phân :

Giả sử chúng ta đang xem xét phương trình $\dfrac{dy}{dx}=h(x,y)$ và giả sử ta biết P(x,y)=(X,Y) là một phép đối xứng của tập nghiệm. Như vậy thì ta cũng có: $\dfrac{dY}{dX}=h(X,Y)$. Dùng vi phân toàn phần
$dY=\dfrac{\partial Y}{\partial x}dx+\dfrac{\partial Y}{\partial y}dy,dX=\dfrac{\partial X}{\partial x}dx+\dfrac{\partial X}{\partial y}dy$ ta được
$\dfrac{dY}{dX}=\dfrac{Y_x+y'Y_y}{X_x+y'X_y}=\dfrac{Y_x+h(x,y)Y_y}{X_x+h(x,y)X_y}$ Do đó ta nhận được PDE
$\dfrac{Y_x+h(x,y)Y_y}{X_x+h(x,y)X_y}=h(X,Y)$

Nếu ta có thể giải PDE này thì ta có thể tìm được một phép đối xứng của tập nghiệm. Trong tổng quát thì ta khổng thể giải phương trình này, nhưng ta có thể làm như thông thường trong PDE là xem xét sự tuyến tính hóa của nó.