Chủ đề này có 65 trả lời

[Nguyễn Hoàng Nam]

Bài dưới đây xin nêu vài dạng và cách giải phương trình bậc 4:
$x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ với a, b, c, d là các số thực khác 0.

1.Với các phương trình bậc bốn, ở một số trường hợp cụ thể, nếu bạn có cách nhìn sáng tạo, biết biến đổi hợp lý sáng tạo, bạn có thể giải được chúng không khó khăn gì.

Ví dụ 1: Giải phương trình

$(x^2 - a)^2 - 6x^2 + 4x + 2a = 0(1)$

Giải:
Phương trình (1) được viết thành $x^4 - 2ax^2 + a^2 - 6x^2 + 4x + 2a = 0$ hay $x^4 - (2a + 6)x^2 + 4x + a^2 + 2a = 0(2)$
Phương trình (2) là phương trình bậc bốn đối với x.
Nếu ta lại có thể viết phương trình (1) dưới dạng $a^2 - 2(x^2 - 1)a + x^4 - 6x^2 + 4x = 0(3)$ và xem (3) là phương trình bậc hai đối với a
Với cách nhìn này, ta tìm được a theo x:
$a_{1,2} = x^2 - 1\pm \sqrt{x^4 - 2x^2 + 1 - x^4 + 6x^2 - 4x} $

$= x^2 - 1\pm \sqrt{4x^2 - 4x + 1} = x^2 – 1\pm (2x - 1)$
Giải các phương trình bậc 2 đối với x:
$x^2 + 2x - a - 2 = 0(4)$
và $x^2 - 2x - a = 0(5)$

Ta tìm được các nghiệm của (1) theo a
Điều kiện để (4) có nghiệm là $3 + a \geq 0$ và các nghiêm của (4) là $x_{1,2} = - 1 \pm \sqrt{3 + a}$
Điều kiện để (5) có nghiệm là $1 + a \geq 0$ và các nghiệm của (5) là $x_{3,4} = - 1 \pm \sqrt{1 + a}$
Phần còn lại các bạn tự tìm

Ví dụ 2: Giải phương trình
$x^4 - x^3 - 5x^2 + 4x + 4 = 0(1)$
Giải:
Phương trình (1) được viết dưới dạng
$x^4 - x^3 - x^2 - (4x^2 - 4x - 4) = 0$
$x^2(x^2 - x - 1) - 4(x^2 - x - 1) = 0$
$(x^2 - 4)(x^2 - x - 1) = 0$
Suy ra, phương trình có 4 nghiệm là $x_1 = - 2;x_2 = 2;x_3 = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2}; x_4 = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$
Sau post tiếp. Thông cảm. Thời gian có hạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 13-08-2011 - 21:39

[Nguyễn Hoàng Nam]

Ví dụ 3: Giải phương trình

$32x^4 - 48x^3 - 10x^2 = 21x + 5 = 0(1)$

Giải:
Ta viết (1) dưới dạng $2(16x^4 - 24x^3 + 9x^2) - 7(4x^2 - 3x) + 5 = 0$ và đặt $y = 4x^2 - 3x$ thì (1) được biến đổi thành $2y^2 - 7y + 5 = 0$
Từ đó $y_1 = 1$ và $y_2 = \dfrac{5}{2}$
Giải tiếp các phương trình bậc 2 với x sau đây (sau khi thay $y_1,y_2$ bằng 1 và $\dfrac{5}{2}$ vào y = $4x^2 - 3x$)
$4x^2 - 3x_1 = 0$ và $8x^2 - 6x - 5 = 0$ ta sẽ được các nghiệm của (1)

Ví dụ 4: Giải phương trình

$2x^4 + 3x^3 - 15x^2 + 3x + 2 = 0(1)$

Giải:
Đây là phương trình bậc bốn và là phương trình đối xứng do các hệ số của những số hạng cách đều các số hạng đầu và cuối bằng nhau.
Với phương trình này, ta giải như sau:
Chia hai vế của phương trình cho $x^2$ (khác 0) thì (1) tương đương với $2x^2 + 3x - 16 + \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2} = 0$ hay $2(x^2 + \dfrac{1}{x^2}) + 3(x + \dfrac{1}{x}) - 16 = 0$

Đặt $x + \dfrac{1}{x} = y$ thì $(x + \dfrac{1}{x})^2 = y^2$ hay $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = y^2 - 2$
Phương trình (1) được biến đổi thành $2(y^2 - 2) + 3y - 16 = 0$ hay $2y^2 + 3y - 20 = 0$.

Phương trình này có nghiệm là $y_1 = - 4,y_2 = \dfrac{5}{2}$ vì vậy $x + \dfrac{1}{x} = - 4$ và $x + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{2}$ tức là $x^2 + 4x + 1 = 0$ và $2x^2 - 5x + 2 = 0$
Từ điều này ta tìm được các nghiệm của (1) là $x_{1,2} = - 2 \pm \sqrt{3} $;$x_3 = \dfrac{1}{2},x_4 = 2$
Như vậy, với các ví dụ 2,3,4 ta giải được phương trình bậc 4 nhờ biết biến đổi một cách sáng tạo vế trái của phương trình để dẫn tớ việc giải các phương trình tích và phương trình quen thuộc.
Lần sau, chúng ta sẽ làm quen giải phương trình bậc 4 bằng cách phân tích vế trái của phương trình thành các nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định. Chúc các bạn thành công

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 13-08-2011 - 21:44

[Nguyễn Hoàng Nam]

Ví dụ 5: Giải phương trình

$x^4 - 4x^3 - 10x^2 + 37x - 14 = 0 (1)$

Giải:
Ta thử phân tích vế trái của phương trình ra hai nhân tử bậc hai $x^2 + px + q$ và $x^2 + rx + s$, trong đó $p,q,r,s$ là các hệ số nguyên chưa xác định.
Ta có:
$x^4 + 4x^3 - 10x^2 + 37x - 14 = (x^2 + px + q)(x^2 + rx + s)$(2)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai của vế đồng thức ta có hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{l} p + r = - 4 \\ s + q + pr = - 10 \\ ps + qr = 37 \\ qs = -14 \end{array} \right.$
Nhờ phương trình cuối cùng của hệ này, ta đoán được các giá trị nguyên dương tương ứng có thể lấy được của q và s như sau:

Thử lần lượt các giá trị trên của q thì ta thấy với q = 1, s = - 7 phương trình thứ hai và thứ ba của hệ trên cho ta hệ phương trình mới
$\left\{ \begin{array}{l}pr = - 5 \\ - 7p + 2r = 37\end{array} \right.$
mà khử p đi thì được $2r^2 - 37r + 35 = 0$
Phương trình này có nghiệm nguyên của r là 1. Nhờ thế ta suy ra p = - 5

Thay các giá trị p, q, s, r vừa tìm được vào (2) ta có:
$x^4 - 4x^3 - 10x^2 + 37x - 14 = (x^2 = 5x + 2)(x^2 + x - 7)$
Phương trình (1) tương ứng với $(x^2 - 5x + 2)(x^2 + x - 7) = 0$
Giải các phương trình tích này ta được các nghiệm sau của (1)

$\dfrac{{5 \pm \sqrt{17}}}{2}; \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt{29}}}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 13-08-2011 - 21:58

[Nguyễn Văn Bảo Kiên]

Giải phương trình:
$x^{4} - 2x^{2} - 400x = 9999$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 17-08-2011 - 17:09

[phuonganh_lms]

Nếu đề là thế này $ x^4-2x^2-400x=9999$
pt $ \Leftrightarrow (x+9)(x-11)(x^2+2x+101)=0$

[Nguyễn Văn Bảo Kiên]

Cho mình đóng góp thêm 1 bài nữa
Giải phương trình tìm y;a;x
$y^{2} = ax^{2} +1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 17-08-2011 - 21:37

[Phạm Văn Cường]

Cho mình đóng góp thêm 1 bài:
$ x^{4} - 2x^{3} + 4x^2 - 3x+ 2 = 0 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Văn Cường: 27-08-2011 - 12:49

[Cao Xuân Huy]

Cho mình đóng góp thêm 1 bài:
$ x^{4} - 2x^{3} + 4x^2 - 3x+ 2 = 0 $

Bài này là hệ phương trình bậc 4 đối xứng, hay là một dạng hệ phương trình hồi qui. Chia 2 vế cho $x^{2}$ rồi đặt ẩn phụ là ra thôi

[Crystal]

Anh cho thêm 1 vài bài toán đi

Một số bài về PT bậc 4 đây. Giải các phương trình sau:

1. ${\left( {2x - 1} \right)^4} + 16{\left( {x - 2} \right)^4} = 17$

2. $\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left( {{x^2} + 7x + 12} \right) = 120$

3. $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 8} \right) = \dfrac{{10}}{9}{x^2}$

4. $2{x^4} - 5{x^3} + 6{x^2} - 5x + 2 = 0$

5. $3{\left( {{x^2} - x + 1} \right)^2} - 2{\left( {x + 1} \right)^2} = 5\left( {{x^3} + 1} \right)$

6. $\dfrac{{3x}}{{{x^2} - 4x + 1}} - \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}} = \dfrac{8}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 13-10-2011 - 22:49

[thukilop]

Em mở hàng bài dễ nhất
1) 1. ${\left( {2x - 1} \right)^4} + 16{\left( {x - 2} \right)^4} = 17$
$(2x-1)^4+(2x-4)^4-17=0$ (1)
Đặt 2x-1=t thì
(1) $t^4+(t-3)^4$
$2t^4-12t^3+54t^2-108t+64=0$
$t^4-6t^3+27t^2-54t+32=0$
$(t-1)(t-2)(t^2-3t+16)=0$
Suy ra t=1 và t=2.Thế vào 2x-1 => x=1 và x=$\dfrac{3}{2}$

2)$\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left( {{x^2} + 7x + 12} \right) = 120$
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=120
($ x^2+5x+4$)($x^2+5x+6$)=120
[($x^2+5x+5$)-1][($x^2+5x+5$)+1]=120
$(x^2+5x+5)^2$-1=120
tiếp tục giải pt ta được 2 nghiệm x=1 và x=-6


3) $\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {x - 8} \right) = \dfrac{{10}}{9}{x^2}$
pt có nghiệm: x=3,x=$\dfrac{8}{3},x=\dfrac{14-2\sqrt{31}}{3},x=\dfrac{14+2\sqrt{31}}{3}$

4) $2{x^4} - 5{x^3} + 6{x^2} - 5x + 2 = 0$
pt đối xứng,với x=0 thì hok phải là nghiệm nên chia 2 vế pt cho $x^2$....Từ từ giải...
KL: pt có 1 nghiệm duy nhất x=1 (anh xem đúng chưa)

6) $\dfrac{{3x}}{{{x^2} - 4x + 1}} - \dfrac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}} = \dfrac{8}{3}$
Bài này em hok biết gõ Latex vì em chưa quen nên em chỉ trình bày sơ thôi
+ Rút x ở mẫu từ 2 phân thức trên,sao đó rút gọn x ở mẫu với x ở từ
+ Đặt x+ $\dfrac{{1}}{{x}}$ =t
+ Sau đó quy đồng,rồi giải pt
KL: pt có 2 nghiệm x= $\dfrac{5-2\sqrt{21}}{2}$và x= $\dfrac{5+2\sqrt{21}}{2}$

P/S: anh xem có chỗ nào thiếu nghiệm hoặc cách giải chưa hay,anh sửa lại giùm em...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thukilop: 14-10-2011 - 21:35

[Crystal]

P/s: bài 4 viết nhầm mũ rồi kìa anh $2x^2$=>$2x^4$ chứ

Thanks đã nhắc . Anh edit lại rồi đó. Tiếp tục giải nào.

[tuithichtoan]

Mình xin giải nốt bài 5,
Có:$3(x^{2}-x+1)^{2}-2(x+1)^{2}=5(x^{3}+1)$
$\Leftrightarrow 3(x^{2}-x+1)-2(x+1)^{2}=5(x+1)(x^{2}-x+1)$
$\Leftrightarrow (x^{2}-x+1-2(x+1))(3(x^{2}-x+1)+x+1)=0$
$\Leftrightarrow (x^{2}-3x-1)(3x^{2}-2x+4)=0$
Đến đây các bạn giải tiếp nha

[hoa_giot_tuyet]

Mọi người giải thử bài này nhé
$x^4 = \dfrac{11x-6}{6x-11}$

Em làm đc = cách thông thường rùi nhưng dài quá, mọi ng thử đặt ẩn phụ xem có đc k nhìn tử và mẫu na ná nhau mà mik ngu quá k bik làm gì

[Zaraki]

Mọi người giải thử bài này nhé
$x^4 = \dfrac{11x-6}{6x-11}$

Em làm đc = cách thông thường rùi nhưng dài quá, mọi ng thử đặt ẩn phụ xem có đc k nhìn tử và mẫu na ná nhau mà mik ngu quá k bik làm gì

$x \in \{ \frac{1}{2},-1, 2 \}$

[Crystal]

$x \in \{ \frac{1}{2},-1, 2 \}$

@Toàn: Không nên chỉ post đáp số mà không kèm theo hướng giải quyết.

[thukilop]

Mọi người giải thử bài này nhé
$x^4 = \dfrac{11x-6}{6x-11}$

Em làm đc = cách thông thường rùi nhưng dài quá, mọi ng thử đặt ẩn phụ xem có đc k nhìn tử và mẫu na ná nhau mà mik ngu quá k bik làm gì

Cách giải mình lặp của bạn thì thôi
Cho mình phân tích bài toán trước nhé: để ý 11x-6x=5x; -6+11=5 .....Ta phải làm sao đó để gắn thừa số 5 chung...
ĐK: $x\neq \dfrac{11}{6}$
$x^{4}=\dfrac{11x-6}{6x-11}
\Leftrightarrow x^{4}-1=\dfrac{11x-6}{6x-11}-1
\Leftrightarrow (x^{2}-1)(x^{2}+1)=\dfrac{5x+5}{6x-11}
\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(x^2+1)(6x-11)=5(x+1)
\Leftrightarrow (x-1)(x+1)(x^2+1)(6x-11)-5(x+1)=0
\Leftrightarrow (x+1)[(x-1)(x^2+1)(6x-11)-5]=0$ được $x=1$ (thỏa ĐK)
Tiếp tục giải: $(x-1)(x^2+1)(6x-11)-5=0$
$\Leftrightarrow 6x^4-17x^3+17x^2-17x+6=0$
$\Leftrightarrow 6x^4-12x^3-5x^3+10x^2+7x^2-14x-3x+6=0$
$\Leftrightarrow (x-2)(6x^3-5x^2+7x-3)=0$
Đến đây tự giải ra 2 nghiệm còn lại: $x=2$ và $x=\dfrac{1}{2}$ (thỏa ĐK)
KL: pt có 3 nghiệm: $\begin{bmatrix}
x=1;x=2;x=\dfrac{1}{2}
\end{bmatrix}$
p/s:hình như LATEX của em bị lỗi,sao em sửa không được ....

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 12-04-2012 - 22:44

[Cuong Ngyen]

Ví dụ 5: Giải phương trình

$x^4 - 4x^3 - 10x^2 + 37x - 14 = 0 (1)$

Giải:
Ta thử phân tích vế trái của phương trình ra hai nhân tử bậc hai $x^2 + px + q$ và $x^2 + rx + s$, trong đó $p,q,r,s$ là các hệ số nguyên chưa xác định.
Ta có:
$x^4 + 4x^3 - 10x^2 + 37x - 14 = (x^2 + px + q)(x^2 + rx + s)$(2)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai của vế đồng thức ta có hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{l} p + r = - 4 \\ s + q + pr = - 10 \\ ps + qr = 37 \\ qs = -14 \end{array} \right.$
Nhờ phương trình cuối cùng của hệ này, ta đoán được các giá trị nguyên dương tương ứng có thể lấy được của q và s như sau:

Thử lần lượt các giá trị trên của q thì ta thấy với q = 1, s = - 7 phương trình thứ hai và thứ ba của hệ trên cho ta hệ phương trình mới
$\left\{ \begin{array}{l}pr = - 5 \\ - 7p + 2r = 37\end{array} \right.$
mà khử p đi thì được $2r^2 - 37r + 35 = 0$
Phương trình này có nghiệm nguyên của r là 1. Nhờ thế ta suy ra p = - 5

Thay các giá trị p, q, s, r vừa tìm được vào (2) ta có:
$x^4 - 4x^3 - 10x^2 + 37x - 14 = (x^2 = 5x + 2)(x^2 + x - 7)$
Phương trình (1) tương ứng với $(x^2 - 5x + 2)(x^2 + x - 7) = 0$
Giải các phương trình tích này ta được các nghiệm sau của (1)

$\dfrac{{5 \pm \sqrt{17}}}{2}; \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt{29}}}{2}$

Ví dụ 5: Giải phương trình

$x^4 - 4x^3 - 10x^2 + 37x - 14 = 0 (1)$

Giải:
Ta thử phân tích vế trái của phương trình ra hai nhân tử bậc hai $x^2 + px + q$ và $x^2 + rx + s$, trong đó $p,q,r,s$ là các hệ số nguyên chưa xác định.
Ta có:
$x^4 + 4x^3 - 10x^2 + 37x - 14 = (x^2 + px + q)(x^2 + rx + s)$(2)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai của vế đồng thức ta có hệ phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{l} p + r = - 4 \\ s + q + pr = - 10 \\ ps + qr = 37 \\ qs = -14 \end{array} \right.$
Nhờ phương trình cuối cùng của hệ này, ta đoán được các giá trị nguyên dương tương ứng có thể lấy được của q và s như sau:

Thử lần lượt các giá trị trên của q thì ta thấy với q = 1, s = - 7 phương trình thứ hai và thứ ba của hệ trên cho ta hệ phương trình mới
$\left\{ \begin{array}{l}pr = - 5 \\ - 7p + 2r = 37\end{array} \right.$
mà khử p đi thì được $2r^2 - 37r + 35 = 0$
Phương trình này có nghiệm nguyên của r là 1. Nhờ thế ta suy ra p = - 5

Thay các giá trị p, q, s, r vừa tìm được vào (2) ta có:
$x^4 - 4x^3 - 10x^2 + 37x - 14 = (x^2 = 5x + 2)(x^2 + x - 7)$
Phương trình (1) tương ứng với $(x^2 - 5x + 2)(x^2 + x - 7) = 0$
Giải các phương trình tích này ta được các nghiệm sau của (1)

$\dfrac{{5 \pm \sqrt{17}}}{2}; \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt{29}}}{2}$

Cái chỗ đồng nhất ra hệ phương trình ai giảng cho em hoặc cho em tài liệu để học được không. Em không hiểu cái đấy, sao ra được hệ

[thukilop]

Mình giải thích cho bạn hiểu:

• trước hết bạn khai triển

$(x^{2}+px+q)(x^{2}+rx+s)$=$x^{4}+(p+r)x^{3}+(s+pr+q)x^{2}+(ps+qr)x+qs$

• Suy ra $x^{4}-4x^{3}-10x^{2}+37x-14$=$x^{4}+(p+r)x^{3}+(s+pr+q)x^{2}+(ps+qr)x+qs$
• Đồng nhất 2 vế (tức là làm sao cho hệ số của các bậc trong pt ở VP bằng hệ số ở VT) Suy ra hệ pt:

$\left\{\begin{matrix}
p+r=-4 & & \\
s+pr+q=-10& & \\
ps+qr=37& & \\
qs=-14& &
\end{matrix}\right.$
p/s: pp giải này khi đến lúc giải hệ pt rất mệt,có nhiều bài cái hệ rất khó..Nên hạn chế sử dụng nha bạn

[nthoangcute]

Thôi, hãy dùng Máy tính Casio để giải PT bậc 4:
http://diendantoanho...showtopic=68787

[Beautifulsunrise]

Bài 1. Giải PT: x⁴ - 7x³ + 6 = a²⁰¹² với a là số tự nhiên cho trước.
Bài 2. Giải PT: x⁴ - 1 = $\sqrt{b^{2}- 9b + 10}$ với b là số hữu tỉ cho trước.