3/$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {{y^2} - 8x + 9} - \sqrt[3]{{xy + 12 - 6x}} \le 1}\\{\sqrt {2{{(x - y)}^2} + 10x - 6y + 12} - \sqrt {y} = \sqrt {x + 2} }\end{array}} \right.$
Nhận xét: Với bài toán này thì ý nghĩ khai thác phương trình sau là rất tự nhiên + hợp lí.
bài giải:
Tạm thời chưa nói đến điều kiện:
Khai thác phương trình sau:
$\textup{pt } \Leftrightarrow {\sqrt {2{{(x - y)}^2} + 10x - 6y + 12} = \sqrt{y} + \sqrt{x+2} $
$\Leftrightarrow \sqrt{4\left(x-y\right)^2 + 20x - 12y +24}= \sqrt{2y} + \sqrt{2x+4}$
$\Leftrightarrow \sqrt{\left(2x-2y+4\right)^2+4x+4y+8} = \sqrt{2y} + \sqrt{2x+4}$
Nhận xét: $\textup{VT} \ge \sqrt{4x+8+4y} \ge \sqrt{2x+4} + \sqrt{2y} = \textup{VP}$
Đẳng thức xảy ra khi $x+2=y$, rồi thay vào bất phương trình, ta có:
$\sqrt{x^2-4x+13} - \sqrt[3]{x^2-4x+12} \le 1,$
Đặt ẩn phụ $t = \sqrt[3]{x^2-4x+12}$, ta có thể giải tiếp bài toán !
7.$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\sqrt {xy} + \sqrt {1 - 2y} \le 2y}\\{2005\sqrt {2xy - y} + 2006y = 1003}\end{array}} \right.$
Bài này có hình thức khá gồ ghề + hệ gồm bất phương trình + phương trình khiến ta thấy khá nản, nhưng thực chất là một bài toán khá đơn giản.
Bài giải:
Từ: $2\sqrt {xy} + \sqrt {1 - 2y} \le 2y \Rightarrow \dfrac{1}{2} \ge y \ge 0$
xét phương trình sau: $2005\sqrt {2xy - y} + 2006y = 1003 \Rightarrow y\left(2x-1\right) \ge 0 \Rightarrow x \ge \dfrac{1}{2}$
Lại từ $2\sqrt {xy} + \sqrt {1 - 2y} \le 2y \Rightarrow 2y \ge 2\sqrt{xy} \Rightarrow y \ge x$
Vậy rõ ràng hệ có nghiệm khi $x = y = \dfrac{1}{2}$
Thử lại thấyy thỏa mãn, vậy đó chính là nghiệm duy nhất của hệ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi h.vuong_pdl: 26-05-2011 - 21:08