Chủ đề này có 11 trả lời

[Crystal]

Đi thẳng vào vấn đề luôn. Topic sẽ trình bày một số chuyên đề về Số học cơ bản. Cụ thể như sau:

* Chuyên đề 1: Dấu hiệu chia hết.

* Chuyên đề 2: Số chính phương.

* Chuyên đề 3: Số nguyên tố.

* Chuyên đề 4: Tìm chữ số tận cùng.

* Chuyên đề 5: Dãy số có quy luật.

* Chuyên đề 6: Phân số và liên phân số.

Mỗi chuyên đề sẽ nhắc lại một số kiến thức cơ bản, trình bày một số dạng toán thường gặp, mỗi dạng sẽ có ví dụ (kèm lời giải) và bài tập tự luyện.

Mình hi vọng topic này sẽ giúp ích cho những ai mới làm quen với Số học cũng như những bạn THCS muốn bồi dưỡng thêm kiến thức về mảng toán này. Mong các bạn ủng hộ và tham gia nhiệt tình.

P/s: Không spam. Mong được nhận ý kiến từ các bạn (có thể sẽ có bố sung và sửa chữa).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xusinst: 08-10-2011 - 09:55

[Crystal]

Chuyên đề 1 : DẤU HIỆU CHIA HẾT

PHẦN I: TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I. ĐỊNH NGHĨA PHÉP CHIA
Cho 2 số nguyên $a$ và $b$ trong đó $b \ne 0$ ta luôn tìm được hai số nguyên $q$ và $r$ duy nhất sao cho: $a = bq + r,\,\,0 \le r \le \left| b \right|$
Khi $a$ chia cho $b$ có thể xẩy ra $\left| b \right|$ số dư: $r \in \left\{ {0;1;2;...;\left| b \right|} \right\}$.
Đặc biệt: $r = 0$ thì $a = bq$, khi đó ta nói $a$ chia hết cho $b$ hay $b$ chia hết $a$. Ký hiệu: $a \vdots b$ hay $b|a$.
Vậy: $a \vdots b \Leftrightarrow $ có số nguyên $q$ sao cho $a = bq$
II. CÁC TÍNH CHẤT
III. MỘT SỐ DẤU HIỆU CHIA HẾT
Gọi $N = \overline {{a_n}{a_{n - 1}}...{a_1}{a_0}} $
1. Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25; 8; 125
$\begin{array}{l}
+ \,N \vdots 2 \Leftrightarrow {a_0} \vdots 2 \Leftrightarrow {a_0} \in \left\{ {0;2;4;6;8} \right\}\\
+ \,N \vdots 5 \Leftrightarrow {a_0} \vdots 5 \Leftrightarrow {a_0} \in \left\{ {0;5} \right\}\\
+ \,N \vdots 4;25 \Leftrightarrow \overline {{a_1}{a_0}} \vdots 4;25\\
+ \,N \vdots 8;125 \Leftrightarrow \overline {{a_2}{a_1}{a_0}} \vdots 8;125\end{array}$
2. Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9
$ + N \vdots 3;9 \Leftrightarrow \sum\limits_{i = 0}^n {{a_i}} \, \vdots 3;\,9$
3. Một số dấu hiệu khác
$\begin{array}{l}
+ \,N \vdots 11 \Leftrightarrow \left[ {\left( {{a_0} + {a_2} + ...} \right) - \left( {{a_1} + {a_3} + ...} \right)} \right] \vdots 11\\
+ \,N \vdots 101 \Leftrightarrow \left[ {\left( {\overline {{a_1}{a_0}} + \overline {{a_5}{a_4}} + ...} \right) - \left( {\overline {{a_3}{a_2}} + \overline {{a_7}{a_6}} + ...} \right)} \right]\, \vdots \,101\\
+ \,N \vdots 7\,;\,13 \Leftrightarrow \left[ {\left( {\overline {{a_2}{a_1}{a_0}} + \overline {{a_8}{a_7}{a_6}} + ...} \right) - \left( {\overline {{a_5}{a_4}{a_3}} + \overline {{a_{11}}{a_{10}}{a_9}} + ...} \right)} \right]\, \vdots 7\,;\,13\\
+ \,N \vdots 37\, \Leftrightarrow \left( {\overline {{a_2}{a_1}{a_0}} + \overline {{a_5}{a_4}{a_3}} + ...\overline {{a_n}{a_{n - 1}}{a_{n - 2}}} } \right)\, \vdots \,37\\
+ \,N \vdots 19 \Leftrightarrow \left( {{a_n} + 2{a_{n - 1}} + {2^2}{a_{n - 2}} + ... + {2^n}{a_0}} \right)\, \vdots \,19\end{array}$
IV. ĐỒNG DƯ THỨC
a. Định nghĩa: Cho $m$ là số nguyên dương. Nếu hai số nguyên $a$ và $b$ cho cùng số dư khi chia cho $m$ thì ta nói $a$ đồng dư với $b$ theo modun $m$.
Ký hiệu: $a \equiv b\left( {\bmod m} \right)$
Vậy: $a \equiv b\left( {\bmod m} \right) \Leftrightarrow a - b\, \vdots m$.
b. Các tính chất
1. Với mọi $a$ $ \Rightarrow a \equiv a\left( {\bmod m} \right)$
2. Nếu $ \Rightarrow a \equiv b\left( {\bmod m} \right),\,b \equiv a\left( {\bmod m} \right)$
3. Nếu $a \equiv b\left( {\bmod m} \right),\,b \equiv c\left( {\bmod m} \right) \Rightarrow a \equiv c\left( {\bmod m} \right)$
4. Nếu $a \equiv b\left( {\bmod m} \right),\,\,c \equiv d\left( {\bmod m} \right) \Rightarrow a + c \equiv b + d\left( {\bmod m} \right)$
5. Nếu $a \equiv b\left( {\bmod m} \right),\,\,c \equiv d\left( {\bmod m} \right) \Rightarrow ac \equiv bd\left( {\bmod m} \right)$
6. Nếu $a \equiv b\left( {\bmod m} \right),\,\,d \in UCLN\left( {a,b} \right),\,\,\left( {d,m} \right) = 1 \Rightarrow \dfrac{a}{d} \equiv \dfrac{b}{d}\left( {\bmod m} \right)$
7. Nếu $a \equiv b\left( {\bmod m} \right),\,\,d > 0\,,\,d \in UCLN\left( {a,b,m} \right) \Rightarrow \dfrac{a}{d} \equiv \dfrac{b}{d}\left( {\bmod \dfrac{m}{d}} \right)$
V. MỘT SỐ ĐỊNH LÝ
1. Định lý Euler
Nếu $m$ là 1 số nguyên dương, $\varphi \left( m \right)$ là số các số nguyên dương nhỏ hơn $m$ và nguyên tố cùng nhau với $m$, $\left( {a,m} \right) = 1$ thì ${a^{\varphi \left( m \right)}} \equiv 1\left( {\bmod m} \right)$.
Công thức tính $\varphi \left( m \right)$:
Phân tích $m$ ra thừa số nguyên tố $m = p_1^{{\alpha _1}}p_2^{{\alpha _2}}...p_k^{{\alpha _k}}$ với ${p_i} \in p;\,{\alpha _i} \in {N^*}$ thì $\varphi \left( m \right) = m\left( {1 - \dfrac{1}{{{p_1}}}} \right)\left( {1 - \dfrac{1}{{{p_2}}}} \right)...\left( {1 - \dfrac{1}{{{p_k}}}} \right)$.
2. Định lý Fermat
Nếu $p$ là số nguyên tố và $a$ không chia hết cho $p$ thì ${a^{p - 1}} \equiv 1\left( {\bmod p} \right)$.
3. Định lý Wilson
Nếu $p$ là số nguyên tố thì $\left( {p - 1} \right)! + 1 \equiv 0\left( {\bmod p} \right)$

PHẦN II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CHIA HẾT

1. Phương pháp 1: SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT
Ví dụ 1: Tìm các chữ số $a, b$ sao cho $\overline {a56b} \,\,\, \vdots \,\,\,45$.
Giải:
Ta thấy $45 = 5.9$ mà $\left( {5,9} \right) = 1$. Do đó $\overline {a56b} \,\,\, \vdots \,\,\,45 \Leftrightarrow \overline {a56b} \,\, \vdots 5$ và $9$
Xét $\overline {a56b} \,\, \vdots 5 \Leftrightarrow b \in \left\{ {0;5} \right\}$
Nếu $b = 0 \Rightarrow \overline {a56b} \,\, \vdots 9 \Leftrightarrow a + 5 + 6 + 0\, \vdots 9 \Rightarrow a + 11\,\, \vdots \,\,9 \Rightarrow a = 7$
Nếu $b = 5 \Rightarrow \overline {a56b} \,\, \vdots 9 \Leftrightarrow a + 5 + 6 + 5\, \vdots 9 \Rightarrow a + 16\,\, \vdots \,\,9 \Rightarrow a = 2$
Vậy $a = 7$ và $b = 0$ ta có số $7560$; $a = 2$ và $b = 5$ ta có số $2560$.
Ví dụ 2: Biết tổng các chữ số của một số là không đổi khi nhân số đó với 5. Chứng minh rằng số đó chia hết cho 9.
Giải:
Gọi số đã cho là $N$. Ta có: $N$ và $5N$ khi chia cho 9 cùng có một số dư.
$ \Rightarrow 5N - N\,\, \vdots \,\,9 \Rightarrow 4N\,\, \vdots \,\,9$. Mà $\left( {4,9} \right) = 1 \Rightarrow N \vdots 9$ (đpcm).
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Tìm các chữ số $x, y$ sao cho
a. $\overline {34x5y} \,\, \vdots \,\,4$ và $9$. b. $\overline {2x78} \,\, \vdots \,\,17$
Bài 2: Viết liên tiếp tất cả các số có 2 chữ số từ 19 đến 80 ta được số $A = 192021…7980$. Hỏi số $A$ có chia hết cho 1980 không ? Vì sao?
Bài 3: Tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 46 không? Vì sao?

[Zaraki]

Cảm ơn anh xusinst đã đóng góp một topic bổ ích. Hồi trước em cũng đã đưa lên diễn đàn topic về chia hết (trong chuyên đề toán THCS), bây giờ xin bổ sung thêm một số kiến thức cơ bản cho vấn đề này.

Sự tồn tại và duy nhất của phép chia có dư. Giả sử $a$ và $b$ là các số nguyên. Khi đó có thể chọn được số nguyên $q$ và $r$ sao cho $0 \le r\le |b|$ và $a=bq+r$. Các số $q,r$ xác định theo các điều kiện trên là duy nhất.

Hãy chứng minh tính chất này. (dành cho mọi người)

Anh xusinst có lẽ nên thêm một số chuyên đề nữa về phần nguyên hay UCLN và BCNN, phương trình nghiệm nguyên anh nhỉ.

II. CÁC TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ VỀ CHIA HẾT
1. Các định lý về chia hết

Định lý 1. Nếu các số $a_1,a_2,...,a_n$ chia hết cho $m$, thì tổng
$$a_1+a_2+...+a_n$$
chia hết cho $m$.

Chứng minh. Thật vậy, vì $a_i \ (1 \le i \le n)$ chia hết cho $m$, nên tồn tại số nguyên $k_i$, để $a_1=k_1m$. Bởi vậy
$$a_1+a_2+...+a_n=k_1m+k_2m+...+k_nm$$
$$=m(k_1+k_2+...+k_n)$$
chia hết cho $m$.

Định lý 2. Nếu hai số $a$ và $b$ đều chia hết cho $m$, thì hiệu $a-b$ và $b-a$ đều chia hết cho $m$.

Hệ quả 1. Nếu tổng một số hạng chia hết cho $m$ và trừ một số hạng, các số còn lại đều chia hết cho $m$, thì số hạng này cũng chia hết cho $m$.

Định lý 3. Nếu mỗi số $a_i \ (1 \le i \le n)$ chia hết cho $m_i$ thì tích $a_1a_2...a_n$ chia hết cho tích $m_1m_2...m_n$.

Hệ quả 2. Nếu $a$ chia hết cho $m$, thì với mọi số tự nhiên $n$ tùy ý, $a^n$ chia hết cho $m^n$.

Hệ quả 3. Nếu chỉ một thừa số chia hết cho $m$, thì tích cũng chia hết cho $m$.

Dễ dàng chứng minh các định lý và hệ quả nêu trên theo cách chứng minh định lý 1.

Chú ý.
1. Kí hiệu $\vdots$ (chia hết) trong $\LaTeX$ viết là

[/color]
$\vdots$

[color=#000000]2. Nếu có $a \vdots b$ thì ta hiểu là $a$ chia hết cho $b$. Nhưng một số nước khác thì $a$ chia hết cho $b$ được kí hiệu bởi $b|a$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 08-10-2011 - 15:51

[Crystal]

Cảm ơn ý kiến và những bổ sung của Toàn. Topic mới mở nên còn nhiều thiếu sót, anh sẽ bổ sung những phần mà em đề cập sau. Hi vọng nhận được những góp ý của các bạn khác để topic này thêm hoàn chỉnh và phong phú.

Các bạn hãy tham gia giải những bài tập trên. Nếu có bài nào liên quan thì các bạn post lên để cùng trao đổi.
Thân!

[Zaraki]

Hôm nay không bận lắm nên em viết tiếp cái phần dang dở của II.

II. CÁC TÍNH CHẤT VÀ ĐỊNH LÝ VỀ CHIA HẾT
2. Các tính chất về chia hết

Cái phần này thì nhiều tính chất, các bạn cũng đã biết hết rồi.

Tính chất 1. Nếu $a \vdots b$ và $b \vdots c$ thì $a \vdots c$.
Tính chất 2. Nếu $a \vdots b$ và $a \vdots c$ với $\gcd(b,c)=1$ thì $a \vdots bc$.
Tính chất 2. Nếu $ab \vdots p$ và $p$ nguyên tố, thì hoặc $a \vdots p$, hoặc $b \vdots p$.

...

PHẦN II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHIA HẾT

1. Phương pháp 1. SỬ DỤNG DẤU HIỆU CHIA HẾT

Xin đưa thêm một số ví dụ.

Ví dụ 3. Cmr $(a+2b) \ \vdots \ 3 \Leftrightarrow (b+2a) \ \vdots \ 3$

Giải.
+ Nếu $(a=2b) \ \vdots 3 \rightarrow 3(a+b)-(a+2b) \ \vdots \ 3$
$\rightarrow (b+2a) \ \vdots \ 3$.

+ Nếu $(b+2a) \ \vdots \ 3 \rightarrow 3(a+b)-(b+2a) \ \vdots \ 3$
$(a+2b) \vdots 3$.

Ví dụ 4. Cmr $\forall n \in \mathbb{N}$ thì $n^3-n \ \vdots \ 6$

Giải. Phân tích $n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)$

Ta có $n-1,n,n+1$ là ba số nguyên liên tiếp nên tồn tại số chia hết cho $2$ và số chia hết cho $3$.
Mà $\gcd(2,3)=1$ nên $(n-1)n(n+1) \ \vdots \ 6$ hay $n^3-n \ \vdots 6$.

Nhận xét. Ở đây ta đã biết sử dụng tính chất 2 để giải bài toán. Hơn nữa bài toán này cho ta một số mở rộng sau.

Mở rộng 1. Cmr $\forall n \in \mathbb{N}$ thì $n^3+5n \ \vdots \ 6$.
Mở rộng 2. Cmr với mọi $a,b,c$ nguyên thì $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho $6$ khi và chỉ khi $a+b+c$ chia hết cho $6$.
Mở rộng 3. Chứng minh rằng $\dfrac{a}{3}+ \dfrac{a^2}{2}+ \dfrac{a^3}{6}$ là số nguyên với $\forall a \in \mathbb{Z}$.
Mở rộng 4. Cho $S=a_1^3+a_2^3+...+a_n^3$ và $P=a_1+a_2+...+a_n$.
Trong đó $a_i \in \mathbb{Z}, \ i= \overline{1,n}$.
CMR $S \ \vdots \ 6 \Leftrightarrow P \ \vdots \ 6$.
Mở rộng 5. Số $1993^{1994^{1995}}$ được viết dưới dạng tổn của các số mà mỗi số là một số tự nhiên. Ta lũy thừa bậc $3$ từng số hạng rồi cộng chúng lại, đem tổng này chia cho $6$. Hãy tìm số dư của phép chia này.

Các bạn hãy post lời giải các bài toán mở rộng trên trong topic này. Tương tự với bài toán cm $n^5-n \ \vdots \ 30$.

[Yagami Raito]

Em xin trả lơì BÀi luyện 1 của anh
xusint a)

$\overline{34x59}$ chia hết cho 4 và 9 , dưạ vào các tính chất đã nêu (cụ thể là dưạ vào dâú hiêụ chia hết cho 4 và 9) được kết quả như sau
y = 2 thì x=4
y=6 thì x= 0 hoặc 9
b ) tương tự ta được kết quả như sau :
$x=2$

[Cao Xuân Huy]

Em giải bài số 3 của anh xusinst.
Trong 46 số tự nhiên liên tiếp sẽ có 23 số chẵn và 23 số lẻ.
Tổng của 23 số chẵn là một số chẵn; tổng của 23 số lẻ là một số lẻ.
Do đó tổng của 46 số tự nhiên liên tiếp là một số bằng tổng của một số chẵn và một số lẻ nên là số lẻ.
Ta có $46 \vdots 2$ nên tổng 46 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 46

[thukilop]

Trong chuyên đề I,anh cho em luôn "Phép chia còn dư" đi anh

[Crystal]

2. Phương pháp 2: XÉT TẬP HỢP SỐ DƯ TRONG PHÉP CHIA

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: $\forall n \in N$ thì ${A_n} = n\left( {2n + 7} \right)\left( {7n + 1} \right)\,\,\, \vdots \,\,6$
Giải:
Ta thấy 1 trong 2 thừa số $n$ và $7n + 1$ là số chẵn. $\forall n \in N \Rightarrow {A_n}\,\,\, \vdots \,\,\,2$. Ta chứng minh ${A_n}\,\,\, \vdots \,\,\,3$

Lấy $n$ chia cho 3 ta được $n = 3k + r$ $\left( {k \in N} \right)$, với $r \in \left\{ {0;1;2} \right\}$

Với $r = 0 \Rightarrow n = 3k \Rightarrow n\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow \,{A_n}\,\, \vdots \,\,3$

Với $r = 1 \Rightarrow n = 3k + 1 \Rightarrow 2n + 7 = 6k + 9\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow \,{A_n}\,\, \vdots \,\,3$

Với $r = 2 \Rightarrow n = 3k + 2 \Rightarrow 7n + 1 = 21k + 15\,\, \vdots \,\,3 \Rightarrow \,{A_n}\,\, \vdots \,\,3$

$ \Rightarrow {A_n}\,\, \vdots \,\,3\,\,\forall n \in N$ mà $\left( {2,3} \right) = 1$. Vậy ${A_n}\,\,\, \vdots \,\,\,6\,\,\,\,\forall n \in N$.

Ví dụ 2: Cho 2 số tự nhiên $m, n$ để thoả mãn $24{m^4} + 1 = {n^2}.\,\,\,CMR\,\,mn\,\, \vdots \,\,5$
Giải:
Có $24{m^4} + 1 = {n^2} = 25{m^4} - \left( {{m^4} - 1} \right)$.

Khi $m\,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow mn\,\, \vdots \,\,5$

Khi $m\,\, \vdots \,\,5\,\,,\,\,\left( {m,5} \right) = 1 \Rightarrow \,{m^4} - 1\,\, \vdots \,\,5$

(vì ${m^5} - m\,\, \vdots 5\,\, \Rightarrow m\left( {{m^4} - 1} \right)\,\, \vdots 5\,\, \Rightarrow {m^4} - 1\,\, \vdots \,\,5$)

$ \Rightarrow {n^2}\,\, \vdots \,\,5\,\, \Rightarrow n\,\, \vdots \,\,5$. Vậy $mn\,\, \vdots \,\,5$.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài 1: Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ để ${2^n} - 1\,\, \vdots \,\,7$

Bài 2: Chứng minh rằng: ${A_n} = n\left( {{n^2} + 1} \right)\left( {{n^2} + 4} \right)\,\, \vdots \,\,5\,\,\,\forall n \in Z$

Bài 3: Chứng minh rằng: Nếu $\left( {n,6} \right) = 1$ thì ${n^2} - 1\, \vdots \,\,24\,\,\,\forall n \in Z$.

[Nguyễn Trung Nghĩa]

Em đóng góp 1 bài về số cp:
Cho A=$2+2\sqrt{12n^{2}+1}$, n$\in$N.
Chứng minh: Nếu A là số tự nhiên thì A là số chính phương

[TheBoy2710]

cho em hỏi : a)cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. cm: p²-1 chia hết cho 24

                    b) p và q là các số nguyên tố lớn hơn 3 cm p²-q²chia hết cho 24

[TMW]

Hây zà....không phải mình làm khó nhé. Nếu như bạn tìm được chữ số tận cùng của một số "lớn" thì đố bạn tìm chữ số đầu tiên, thứ hai, thứ ba ....đấy

Bài toán: Xét số a = $2^{300}$ hãy tìm chữ số đầu tiên của số a.