2. Tìm các số nguyên x để:
$x^4+2x^3+2x^2+x+5$
là số chính phương.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChuDong2008: 18-10-2011 - 14:26
#1
Đã gửi 12-10-2011 - 20:20
ChuDong2008
-
- Thành viên
-
- 119 Bài viết
Trung sĩ
1. Tìm các số nguyên dương x và y để: $x^2+8y$ và $y^2+8x$ đều là số chính phương.
2. Tìm các số nguyên x để:
$x^4+2x^3+2x^2+x+5$
là số chính phương.
2. Tìm các số nguyên x để:
$x^4+2x^3+2x^2+x+5$
là số chính phương.
- Zaraki và daovuquang thích
1 + 1 = 2 thì 2 - ..?... = 1 ? " Đau đầu quá! "
#2
Đã gửi 13-10-2011 - 17:45
Didier
-
- Thành viên
-
- 403 Bài viết
đẹp zai có một ko hai
ta dễ chứng minh được
$ (x^{2}+x)^{2}< x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+5< (x^{2}+x+3)^{2}$
vậy $ x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+5=(x^{2}+x+1)^{2}$
hoặc $ x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+5=(x^{2}+x+2)^{2}$
giải ra ta sẽ tìm được x
$ (x^{2}+x)^{2}< x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+5< (x^{2}+x+3)^{2}$
vậy $ x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+5=(x^{2}+x+1)^{2}$
hoặc $ x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+x+5=(x^{2}+x+2)^{2}$
giải ra ta sẽ tìm được x
- perfectstrong, Zaraki, ChuDong2008 và 2 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 13-10-2011 - 20:29
ChuDong2008
-
- Thành viên
-
- 119 Bài viết
Trung sĩ
Ta có: $x^4+2x^3+x^2+x^2+x+5=(x^2+x)^2+(x^2+x)+5$
Đặt $x^2+x=t$
có $t^2+t+5=k^2;$
suy ra: $4t^2+4t+1-4k^2=-19$
hay: $(2t+2k+1)(2t-2k+1)=-19$
giải tiếp ta có kết quả.
Giả sử x $\geq$ y
Khi đó: $x^2< x^2+8y\leq x^2+8x< x^2+8x+16$ = $ (x+4)^2 $
Suy ra: $x^2+8y=(x+1)^2$ Hoặc $x^2+8y=(x+2)^2$ hoặc $x^2+8y=(x+3)^2$
. Nếu $x^2+8y=(x+1)^2$ thì $8y=2x+1$ (lại vì VT chẵn, VT lẻ)
. Nếu $x^2+8y=(x+3)^2$ thì $8y=6x+9$ (lại vì VT chẵn, VT lẻ)
. Nếu $x^2+8y=(x+2)^2$ thì: $8y=4x+4 \Rightarrow 2y=x+1\Rightarrow$ x lẻ,
đặt x = 2k + 1. Khi đó y=k+1.
Ta có: $y^2+8x=(k+1)^2+8(2k+1)=k^2+18k+9=$
= $(k+9)^2-72=m^2, m\in Z$
Khi đó: $(k+9+m)(k+9-m)=72$
Giải tiếp ta có kết quả.
Trường hợp x < y, lấy hoán vị các kết quả tìm đc ở trên.
Đặt $x^2+x=t$
có $t^2+t+5=k^2;$
suy ra: $4t^2+4t+1-4k^2=-19$
hay: $(2t+2k+1)(2t-2k+1)=-19$
giải tiếp ta có kết quả.
Giả sử x $\geq$ y
Khi đó: $x^2< x^2+8y\leq x^2+8x< x^2+8x+16$ = $ (x+4)^2 $
Suy ra: $x^2+8y=(x+1)^2$ Hoặc $x^2+8y=(x+2)^2$ hoặc $x^2+8y=(x+3)^2$
. Nếu $x^2+8y=(x+1)^2$ thì $8y=2x+1$ (lại vì VT chẵn, VT lẻ)
. Nếu $x^2+8y=(x+3)^2$ thì $8y=6x+9$ (lại vì VT chẵn, VT lẻ)
. Nếu $x^2+8y=(x+2)^2$ thì: $8y=4x+4 \Rightarrow 2y=x+1\Rightarrow$ x lẻ,
đặt x = 2k + 1. Khi đó y=k+1.
Ta có: $y^2+8x=(k+1)^2+8(2k+1)=k^2+18k+9=$
= $(k+9)^2-72=m^2, m\in Z$
Khi đó: $(k+9+m)(k+9-m)=72$
Giải tiếp ta có kết quả.
Trường hợp x < y, lấy hoán vị các kết quả tìm đc ở trên.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 18-10-2011 - 20:24
- perfectstrong, Zaraki và xuantungjinkaido thích
1 + 1 = 2 thì 2 - ..?... = 1 ? " Đau đầu quá! "
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Số chính phương
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
