$$m + \dfrac{1}{np} ; n + \dfrac{1}{pm} ; p + \dfrac{1}{mn}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 07-11-2011 - 21:20
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 07-11-2011 - 21:20
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi UEVOLI: 07-11-2011 - 20:42
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dap: 11-11-2011 - 09:38
Theo em thì cách chứng minh của chị UEVOLI có vẻ chưa đúng lắm và nhìn "khủng" quá . Em xin được trình bày cách khác có vẻ khả quan hơn
Lời giải :
Đặt $mnp=\frac{x}{y}$ với $x,y\in \mathbb{Z}$ và ($x$,$y$) $=1$
Ta có : $(m+\frac{1}{np})(n+\frac{1}{pm})(p+\frac{1}{mn})=m(1+\frac{1}{mnp})n(1+\frac{1}{mnp})p(1+\frac{1}{mnp})=mnp(1+\frac{1}{mnp})^{3}=\frac{x}{y}(1+\frac{x}{y})^{3}=\frac{(x+y)^{3}}{xy^{2}}$
Từ giả thiết ta suy ra được $\frac{(x+y)^{3}}{xy^{2}}$ là số nguyên.
Do đó $xy^{2}$/$(x+y)^{3}$
Vì ($x$,$y$)$=1$ nên ($x+y$,$x$)=($x+y$,$y$)$=1$
Do đó $x=y=1$
Từ đó $m+\frac{1}{np}=2m$, $n+\frac{1}{pm}=2n$, $p+\frac{1}{mn}=2p$ đều là các số nguyên có tích bằng $8$.
Suy ra ($2m$,$2n$,$2p$) là hoán vị của một trong các bộ số : ($1$,$1$,$8$),($1$,$2$,$4$),($2$,$2$,$2$),($-1$,$-1$,$8$),($-1$,$1$,$-8$),($-1$,$-2$,$4$),($-1$,$2$,$-4$),($1$,$-2$,$-4$),($-2$,$-2$,$2$)
Từ đó dễ dàng suy ra được $m$,$n$,$p$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 10-06-2013 - 16:09
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh