Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm mọi số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^2 +7pq +q^2$ là bình phương của một số nguyên


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Tìm mọi số nguyên tố $p,q$ sao cho $p^2 +7pq +q^2$ là bình phương của một số nguyên.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
Từ đề bài đặt $p^2+7pq+q^2=a^2$
Suy ra $(p+q)^2+5pq=a^2$
Do đó: $5pq=(a-p-q)(a+p+q)$ và $a+p+q>a-p-q$
Nhận thấy vì $p,q$ là số nguyên tố nên ta chỉ xét 3 TH sau:
TH1: $a -p-q=5$và $a+p+q=pq$
Suy ra $a=5+p+q$ và $a=pq-p-q$
Kết hợp suy ra $5+p+q=pq-p-q$ suy ra $pq-2p-2q-5=0$ suy ra $(p-2)(q-2)=9$ suy ra $(p,q)=(5,5),(11,3),(3,11)$
TH2: $a-p-q=1$ và $a+p+q=5pq$
Làm tương tự như trên cũng chuyển vế và kết hợp suy ra $(5p-2)(5q-2)=9$ và trương hợp này bị loại.
TH3: Nếu $a+p+q=q$ (trường hợp bằng $p$ tương tự)
Thì loại luôn vì khi đó kết hợp cả 2 số như TH1 thì suy ra $-2p=6q$ vô lý vì $6q>0$
Tóm Lại bài toán chỉ có các nghiệm sau:
$(p,q)=(5,5),(11,3),(3,11)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 04-12-2011 - 14:39





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh