Chủ đề này có 3 trả lời

[blackjack1599]

1, Viết các số 1,2,3,...,2007 thành dãy theo thứ tự tùy ý ta được số A. Hỏi $A+2008^{2007}+2009$ có là số chính phương không? VÌ sao?

2, Cho n số có giá trị tuyệt đối bằng 1 là $a_{1},a_{2},a_{3},..., a_n$ biết:
$a_{1}.a_{2}+a_{2}.a_{3}+a_{3}.a_{4}+...+ a_n.a_{1}$. Hỏi n có thể là số 2002 không? Vì sao?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 21-12-2011 - 18:30

[nguyenta98]

Bài 1:
Coi kí hiệu toán học sau: $S(n)$ là tổng chữ số của $n$ suy ra $S(n) \equiv n \pmod{9}$
Dễ thấy có nhận xét sau:
$S(1) \equiv 1 \pmod{9}$ (do <1>)
$S(2) \equiv 2 \pmod{9}$ (do <1>)
....
$S(2007) \equiv 2007 \pmod{9}$ (do <1>)
Lại có $S(A) \equiv S(1)+S(2)+S(3)+...+S(2007) \pmod{9}=>S(A) \equiv 1+2+3+...+2007 \equiv 0 \pmod{9}$ <2> (áp dụng nhận xét và <1>)
Lại thấy $2008 \equiv 1 \pmod{9}$ do đó $2008^{2007} \equiv 1 \pmod{9}$ <3>
Và $2009 \equiv 2 \pmod{9}$ <4>
Từ <2>, <3>, <4> suy ra $A+2008^{2007} +2009$ chia 9 dư 3 suy ra không thể là số chính phương $đpcm$
Bài 2 Mong bạn viết lại đề thì có thế giải được !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 20-12-2011 - 19:46

[blackjack1599]

Bài 2 Mong bạn viết lại đề thì có thế giải được !

Em xem lại rồi, đề vẫn đúng anh ạ

[nguyenta98]

Em xem lại rồi, đề vẫn đúng anh ạ

Bài 2 vẫn không đủ, đề đúng phải là $a_{1}.a_{2}+...+a_{n-1}.a_n +a_n.a_{1}=0$
Giải như sau: Do đề bài suy ra mỗi số trong dãy đều bằng $1$ hoặc $-1$ <1>
Nhận thấy do $a_{1}.a_{2}+...+a_{n-1}.a_n+a_n.a_{1}=0$ suy ra số số $-1$ bằng số số $1$ do vậy $n$ chẵn suy ra $n=2k$ do ta có:
$a_{1}.a_{2}+...+a_{n-1}.+a_n.a_{1}$ có n số hạng
Suy ra số số $-1$ ở dẵy $(a_{1}.a_{2}),...,(a_{n-1}.a_n),(a_n.a_{1})$ <2> = số số $1$ và cùng bằng $k$ <3> vì nếu 1 số hạng giả sử là $a_{j}.a_{i}=-1$ thì sẽ tồn tại 1 và chỉ 1 số trong 2 số $a_{j};a_{i}$ bằng (-1)
Nhận xét tiếp: từ <2> và <3> suy ra $a_{1}.a_{2}...a_n=1$ (do số số -1 bằng số số 1)
Suy ra $(-1)^k+1^k=1$ suy ra $k$ chẵn suy ra $k=2q$
Lại có $n=2k$ và $k=2q$ suy ra $n=4q$ suy ra $n$ chia hết cho 4 nên $n$ không thể là 2002 $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 21-12-2011 - 17:17