Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm số nguyên dương $n \ \not\vdots 3$ sao cho $2^{n^2-10}+2133$ là lập phương của 1 số tự nhiên.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Tìm số nguyên dương $n$ không chia hết cho $3$ sao cho $2^{n^2-10}+2133$ là lập phương của một số tự nhiên.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
Giải như sau:
Nhận xét để đảm bảo rằng $2^{n^2-10}+2133$ là số nguyên thì $n>3$
Lại thấy $n$ không chia hết cho 3 suy ra $n^2$ chia 3 dư 1 suy ra $n^2-10$ chia hết cho 3 nên đặt $n^2-10=3k$ ($k$ nguyên dương)
Như vậy $2^{n^2-10}+2133=2^{3k}+2133=(2^{k})^3+2133=a^3$ (a là số tự nhiên)
Th1: $2^k>2133$
Như vậy suy ra $(2^k)^3<(2^{k})^3+2133<(2^k+1)^3$ suy ra $(2^k)^3<a^3<(2^k+1)^3$ suy ra $2^k<a<2^k+1$ vô lý vì $a$ là số tự nhiên.
Th2: $2^k<2133$ suy ra $2^k=2^1,2^2,2^3,...,2^{11}$
Đến đây suy ra $n^2-10=3,6,...,33$ suy ra $n=13,16,...,43$ thì thấy chỉ có $n^2=16;25$ được chọn hay $n=4,5$
Thử:
$2^{4^2-10}+2133=13^3$ đúng
$2^{5^2-10}+2133$ loại
Vậy $\boxed{n=4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 22-12-2011 - 15:39





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh