Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm các số nguyên tố $p;q$ sao cho: $p+q=(p-q)^3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
huyentrang97

huyentrang97

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 82 Bài viết
1/ Tìm các số nguyên tố sao cho:
$p+q=(p-q)^{3}$
2/ Tìm tất cả các số nguyên dương k sao cho phương trình
$x^{2}+y^{2}$+x+y=kxy (1) có nghiệm nguyên dương
3/ Tìm các số nguyên dương x;y sao cho $x^{2}+3y$ và$y^{2}+3x$ đều là số chính phương
4/Tìm cố nguyên n sao cho $(k^{2}-1)^{2010}(k-1)^{2011}+n$ chia hết cho k
Mod. Tiêu đề có thể kẹp công thức toán. Hãy viết hoa đầu dòng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyentrang97: 05-01-2012 - 22:08

Chính vị trí cánh buồm chứ không phải hướng gió sẽ quyết định chúng ta đi đến đâu.

#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết
Giải như sau:
Bài 1: $p-q+2q=(p-q)^3 \rightarrow 2q=(p-q)((p-q)^2-1)=(p-q)(p-q-1)(p-q+1)$
Th1: $p-q$ chia hết cho 2 suy ra $p-q=2k$
Suy ra $q=k.(2k-1)(2k+1)$
Do vậy $k=1$ vì nếu không thì $q$ thành tích 3 số nguyên lớn hơn 1 suy ra vô lý vì nó là nguyên tố.
Suy ra $p-q=2$ Như vậy $q=3,p=5$ Thỏa mãn
TH2: $p-q-1$ chia hết cho 2 suy ra $p-q-1=2t$ nên $q=(2t+1)t(2t+2)$
Do vậy $t=0$ vì nếu không thì $q$ thành tích 2 số nguyên lớn hơn 1.
Suy ra $p-q-1=0 \leftrightarrow p-q=1 \leftrightarrow p=3,q=2$ thay vào đề loại.
TH3: $p-q+1=2m$ suy ra $q=(2m-1)(2m-2)m$
Nếu $m\geq 2$ suy ra $q$ thành tích 3 số nguyên lớn hơn 1 loại
Suy ra $m=0,1$ thay vào đều loại.
Vậy $\boxed{p=5,q=3}$

#3
Juliel

Juliel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1240 Bài viết

Không biết đúng không, nếu sai thì mọi người chỉ lỗi sai giùm mình nhé ! 

Nhận xét rằng $x^{3}\equiv 0;1;8(mod9)$

  • TH1 : $p+q=(p-q)^{3}\equiv 0(mod9)\Rightarrow p+q\equiv 0(mod3)$

Do đó xảy ra các khả năng :

- Hai số $p,q$ đều chia hết cho 3 $\Rightarrow p=q=3$ (thử lại không thỏa mãn)

- Hai số $p,q$ có một số chia 3 dư 1, số còn lại chia 3 dư 2.

Nếu $\left\{\begin{matrix} p\equiv 2(mod3) & & \\ q\equiv 1(mod3) & & \end{matrix}\right.\Rightarrow p-q\equiv 1(mod3)\Rightarrow (p-q)^{3}\equiv 1(mod9)$ (vô lí)

Nếu $\left\{\begin{matrix} p\equiv 1(mod3) & & \\ q\equiv 2(mod3)& & \end{matrix}\right.\Rightarrow (p-q)^{3}\equiv 8(mod9)$ (vô lí)

  • TH2 : $p+q=(p-q)^{3}\equiv 1(mod9)\Rightarrow p+q\equiv 1(mod3)$

Do đó xảy ra các khả năng :

- Hai số $p,q$ thì một số chia hết cho 3, số kia chia 3 dư 1. 

Nếu $p\equiv 0(mod3);q\equiv 1(mod3)\Rightarrow p=3\Rightarrow q=2\Rightarrow q\equiv 2(mod3)$ (vô lí)

Nếu $q\equiv 0(mod3);p\equiv 1(mod3)\Rightarrow q=3\Rightarrow p=5\Rightarrow p\equiv 2(mod3)$ (vô lí)

- Hai số $p,q$ đều chia 3 dư 2.

$p\equiv 2(mod3);q\equiv 2(mod3)\Rightarrow (p-q)^{3}\equiv 0(mod9)$ (vô lí)

  • TH3 : $p+q=(p-q)^{3}\equiv 8(mod9)\Rightarrow p+q\equiv 2(mod3)$

Do đó xảy ra các khả năng :

- Hai số $p,q$ đều chia 3 dư 1 : $p\equiv 1(mod3);q\equiv 1(mod3)\Rightarrow (p-q)^{3}\equiv 0(mod9)$ (vô lí)

- Hai số $p,q$ thì một số chia hết cho 3, số kia chia 3 dư 2. 

Nếu $p\equiv 0(mod3);q\equiv 2(mod3)\Rightarrow p=3$ mà $p>q\Rightarrow q=2$. Thử lại không thỏa mãn

Nếu $p\equiv 2(mod3);q\equiv0 (mod3)\Rightarrow q=3\Rightarrow p=5$ (thỏa mãn)

 

Vậy : (p ; q) = (5 ; 3)


Đừng rời xa tôi vì tôi lỡ yêu người mất rồi !
 

Welcome to My Facebook !





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh