Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $$p|(q+r), q|(r+2p), r|(p+3q)$$
Tìm tất cả các số nguyên tố $p,q,r$ thỏa mãn $p|(q+r), q|(r+2p), r|(p+3q)$
Bắt đầu bởi Zaraki, 12-01-2012 - 13:31
#1
Đã gửi 12-01-2012 - 13:31
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
- nhungvienkimcuong yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 12-01-2012 - 17:05
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Giải như sau:
Sau đây chỉ là hướng và phương pháp giải gợi ý
TH1: $p=q=r$ suy ra vô số bộ $(p,q,r)$
TH2: Trong 3 số $p,q,r$ chỉ có đúng 2 số giống nhau.
*Nếu $p=q \rightarrow p,q\neq r$ <1> lại có từ $r|p+3q \rightarrow r|4p \rightarrow r|4 \rightarrow r=2$
Khi $r=2$ thì lại có $p|q+r \rightarrow q|q+2 \rightarrow q=2$ loại vì theo <1>
Hoàn toàn tương tự với $p=r,q=r$
Th3: $p,q,r$ đôi một khác nhau do vậy chúng cũng đôi một nguyên tố cũng nhau (sở dĩ vì chúng đều nguyên tố cả) <*>
Từ $p|q+r \rightarrow p|p+q+r$ <2>
Lại có $q|r+2p \rightarrow q|q+r+2p$ nhưng từ <2> suy ra $p|q+r+2p$ do vậy $pq|q+r+2p \rightarrow q+r+2p\geq pq$ (do <*>) <3>
Lại thấy $r|p+3q \rightarrow p+3q\geq r$ <4>
Từ <3> <4> suy ra $p+3q+q+2p\geq pq \rightarrow 3p+4q\geq pq$
Từ điều kiện TH là $p,q$ khác nhau
Th1 nhỏ: $p\geq q \rightarrow 7p\geq pq \rightarrow 7\geq q \rightarrow q=2,3,5$
Nếu $q=2$ suy ra $p|2+r$ và $r|p+6$ nếu $p=2+r$ thì suy ra $p=2$ loại vì bằng $q$ còn nếu $r=p+6$ suy ra $r=2$ cũng loại.
Như vậy suy ra $p\neq 2+r$ và $r\neq p+6$<5>. Từ <5> suy ra$2+r\geq 2p$ và $p+6\geq 2r$ suy ra $4\geq r$ xét $r=3$ nhưng lại loại là ra
Tương tự với $q=3,5$ và với Th2 nhỏ là $p\le q$ ta sẽ sớm tìm được kết quả.
Sau đây chỉ là hướng và phương pháp giải gợi ý
TH1: $p=q=r$ suy ra vô số bộ $(p,q,r)$
TH2: Trong 3 số $p,q,r$ chỉ có đúng 2 số giống nhau.
*Nếu $p=q \rightarrow p,q\neq r$ <1> lại có từ $r|p+3q \rightarrow r|4p \rightarrow r|4 \rightarrow r=2$
Khi $r=2$ thì lại có $p|q+r \rightarrow q|q+2 \rightarrow q=2$ loại vì theo <1>
Hoàn toàn tương tự với $p=r,q=r$
Th3: $p,q,r$ đôi một khác nhau do vậy chúng cũng đôi một nguyên tố cũng nhau (sở dĩ vì chúng đều nguyên tố cả) <*>
Từ $p|q+r \rightarrow p|p+q+r$ <2>
Lại có $q|r+2p \rightarrow q|q+r+2p$ nhưng từ <2> suy ra $p|q+r+2p$ do vậy $pq|q+r+2p \rightarrow q+r+2p\geq pq$ (do <*>) <3>
Lại thấy $r|p+3q \rightarrow p+3q\geq r$ <4>
Từ <3> <4> suy ra $p+3q+q+2p\geq pq \rightarrow 3p+4q\geq pq$
Từ điều kiện TH là $p,q$ khác nhau
Th1 nhỏ: $p\geq q \rightarrow 7p\geq pq \rightarrow 7\geq q \rightarrow q=2,3,5$
Nếu $q=2$ suy ra $p|2+r$ và $r|p+6$ nếu $p=2+r$ thì suy ra $p=2$ loại vì bằng $q$ còn nếu $r=p+6$ suy ra $r=2$ cũng loại.
Như vậy suy ra $p\neq 2+r$ và $r\neq p+6$<5>. Từ <5> suy ra$2+r\geq 2p$ và $p+6\geq 2r$ suy ra $4\geq r$ xét $r=3$ nhưng lại loại là ra
Tương tự với $q=3,5$ và với Th2 nhỏ là $p\le q$ ta sẽ sớm tìm được kết quả.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 12-01-2012 - 17:45
- perfectstrong, Zaraki, Yagami Raito và 4 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
