Cho $m,n$ là hai số nguyên dương sao cho $\frac{m^3+n^3+1}{mn(m-n)}$ luôn là số nguyên. Tìm $m,n$.
Tìm số nguyên dương $m,n$ sao cho $\frac{m^3+n^3+1}{mn(m-n)}$ nguyên
Bắt đầu bởi Zaraki, 15-01-2012 - 20:18
#1
Đã gửi 15-01-2012 - 20:18
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
- perfectstrong, Yagami Raito, aao5717 và 6 người khác yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 24-07-2012 - 18:36
duongtoi
-
- Thành viên
-
- 747 Bài viết
Thiếu úy
Do $\frac{m^3+n^3+1}{mn(m-n)}$ là số nguyên nên $m^3+n^3+1\vdots (mn(m-n))\quad (*)$.
Suy ra, $m^3+n^3+1\vdots m\Leftrightarrow n= -1 \mod m$
và $m^3+n^3+1\vdots n\Leftrightarrow m= -1 \mod n$.
Do đó, $m-n= -1 \mod n;m-n=1\mod m.$
TH1: $m>n$ ta có $m-n=pm+1\Leftrightarrow m(1-p)=n+1$ suy ra $p=0, m=n+1$.
Thay vào (*) ta được $(n+1)^3+n^3+1\vdots n(n+1)\Leftrightarrow 2(n^3+1)\vdots n(n+1)$
$\Leftrightarrow 2(n^2-n+1)\vdots n\Leftrightarrow n=1;n=2.$ Thay vào ta được $m=2;m=3$.
TH2: $n>m$ ta có $m-n=qn-1\Leftrightarrow (q+1)n=m+1$ suy ra $q=0;n=m+1$
Tương tự ta cũng dc $m=1;m=2$ và thay vào được $n=2;n=3$
Vậy nghiệm $(m;n)$ là $(1;2),(2;1),(2;3),(3;2)$.
@nguyenta98: 2 dòng đỏ bị sai
còn TH n^2-n+1 \vdots m$ cơ mà
Suy ra, $m^3+n^3+1\vdots m\Leftrightarrow n= -1 \mod m$
và $m^3+n^3+1\vdots n\Leftrightarrow m= -1 \mod n$.
Do đó, $m-n= -1 \mod n;m-n=1\mod m.$
TH1: $m>n$ ta có $m-n=pm+1\Leftrightarrow m(1-p)=n+1$ suy ra $p=0, m=n+1$.
Thay vào (*) ta được $(n+1)^3+n^3+1\vdots n(n+1)\Leftrightarrow 2(n^3+1)\vdots n(n+1)$
$\Leftrightarrow 2(n^2-n+1)\vdots n\Leftrightarrow n=1;n=2.$ Thay vào ta được $m=2;m=3$.
TH2: $n>m$ ta có $m-n=qn-1\Leftrightarrow (q+1)n=m+1$ suy ra $q=0;n=m+1$
Tương tự ta cũng dc $m=1;m=2$ và thay vào được $n=2;n=3$
Vậy nghiệm $(m;n)$ là $(1;2),(2;1),(2;3),(3;2)$.
@nguyenta98: 2 dòng đỏ bị sai
còn TH n^2-n+1 \vdots m$ cơ mà
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 05-08-2012 - 15:44
- perfectstrong, Zaraki, Victim of love và 5 người khác yêu thích
Facebook: https://www.facebook...toi?ref=tn_tnmn or https://www.facebook...GioiCungTopper/
Website: http://topper.vn/
Mail: [email protected]
#3
Đã gửi 05-07-2014 - 11:59
nmtuan2001
-
- Thành viên
-
- 357 Bài viết
Sĩ quan
Do $\frac{m^3+n^3+1}{mn(m-n)}$ là số nguyên nên $m^3+n^3+1\vdots (mn(m-n))\quad (*)$.
Suy ra, $m^3+n^3+1\vdots m\Leftrightarrow n= -1 \mod m$
và $m^3+n^3+1\vdots n\Leftrightarrow m= -1 \mod n$.
Do đó, $m-n= -1 \mod n;m-n=1\mod m.$
TH1: $m>n$ ta có $m-n=pm+1\Leftrightarrow m(1-p)=n+1$ suy ra $p=0, m=n+1$.
Thay vào (*) ta được $(n+1)^3+n^3+1\vdots n(n+1)\Leftrightarrow 2(n^3+1)\vdots n(n+1)$
$\Leftrightarrow 2(n^2-n+1)\vdots n\Leftrightarrow n=1;n=2.$ Thay vào ta được $m=2;m=3$.
TH2: $n>m$ ta có $m-n=qn-1\Leftrightarrow (q+1)n=m+1$ suy ra $q=0;n=m+1$
Tương tự ta cũng dc $m=1;m=2$ và thay vào được $n=2;n=3$
Vậy nghiệm $(m;n)$ là $(1;2),(2;1),(2;3),(3;2)$.
@nguyenta98: 2 dòng đỏ bị saicòn TH n^2-n+1 \vdots m$ cơ mà
Không sai đâu $m^3+n^3+1 \vdots m$ nên $n^3+1 \vdots m$
Do đó $n^3 \equiv -1 (mod m)$
$\Rightarrow$ $n \equiv -1 (mod m)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 05-07-2014 - 12:01
- thanhdatqv2003 yêu thích
#4
Đã gửi 25-02-2024 - 09:17
Nhbuithithuong23
-
- Thành viên mới
-
- 1 Bài viết
Lính mới
Do $\frac{m^3+n^3+1}{mn(m-n)}$ là số nguyên nên $m^3+n^3+1\vdots (mn(m-n))\quad (*)$.
Suy ra, $m^3+n^3+1\vdots m\Leftrightarrow n= -1 \mod m$
và $m^3+n^3+1\vdots n\Leftrightarrow m= -1 \mod n$.
Do đó, $m-n= -1 \mod n;m-n=1\mod m.$
TH1: $m>n$ ta có $m-n=pm+1\Leftrightarrow m(1-p)=n+1$ suy ra $p=0, m=n+1$.
Thay vào (*) ta được $(n+1)^3+n^3+1\vdots n(n+1)\Leftrightarrow 2(n^3+1)\vdots n(n+1)$
$\Leftrightarrow 2(n^2-n+1)\vdots n\Leftrightarrow n=1;n=2.$ Thay vào ta được $m=2;m=3$.
TH2: $n>m$ ta có $m-n=qn-1\Leftrightarrow (q+1)n=m+1$ suy ra $q=0;n=m+1$
Tương tự ta cũng dc $m=1;m=2$ và thay vào được $n=2;n=3$
Vậy nghiệm $(m;n)$ là $(1;2),(2;1),(2;3),(3;2)$.
@nguyenta98: 2 dòng đỏ bị sai
Cho em hỏi TH 2 sao mà suy ra được q=0 ạ
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
