Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình $$2^x+2009=3^y5^z$$
Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình $2^x+2009=3^y5^z$
Bắt đầu bởi Zaraki, 17-01-2012 - 21:38
#1
Đã gửi 17-01-2012 - 21:38
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
- toilaab và chardhdmovies thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 17-01-2012 - 22:47
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Giải như sau:Tìm nghiệm nguyên không âm của phương trình $$2^x+2009=3^y5^z$$
Thử $x=1,2,3$ đều loại.
Nếu $x>3$
Nhận xét $3|VP \leftrightarrow 3|VT \leftrightarrow 3|2^x+2009 \leftrightarrow 2^x \equiv 1 \pmod{3} \leftrightarrow x$ chẵn
Lại có: $4|VP \leftrightarrow 4|3^y5^z \leftrightarrow 3^y \equiv 1 \pmod{4} \leftrightarrow y$ chẵn
Cũng có: $y$ chẵn nên $3^y \equiv 1 \pmod{8}$ <1>
Mặt khác: $VT \equiv 1 \pmod{8}$ (do $x>3$) suy ra $VP \equiv 1 \pmod{8}$ lại theo <1> nên suy ra $5^z \equiv 1 \pmod{8} $ nên $z$ chẵn
Như vậy $x,y,z$ đều chẵn nên đặt $x=2a,y=2b,z=2c$
Do vậy $2009=(3^b5^c-2^a)(3^b5^c+2^a)$ và có $(3^b5^c-2^a)<(3^b5^c+2^a)$ và lại chúng đều dương
Suy ra $(3^b5^c-2^a)=1,7,41$
Nếu $(3^b5^c-2^a)=1 \leftrightarrow (3^b5^c+2^a)=2009 \leftrightarrow 2^{a+1}=2008$ loại
Nếu $(3^b5^c-2^a)=7$ cũng loại
Nếu $(3^b5^c-2^a)=41$ thì suy ra $a=2,b=2,c=1 \leftrightarrow x=4,y=4,c=2$
Vậy $\boxed{x=4,y=4,c=2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 17-01-2012 - 22:50
- Zaraki, Tham Lang, supermath197 và 4 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
