Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 28-01-2012 - 15:19
CMR cả 2 số $a-b$ & $2a+2b+1$ đều là số chính phương
Bắt đầu bởi cool hunter, 27-01-2012 - 21:47
#1
Đã gửi 27-01-2012 - 21:47
cool hunter
-
- Thành viên
-
- 544 Bài viết
Thiếu úy
Cho a,b là các số nguyên thỏa mãn $2a²+a = 3b²+b$. CMR cả 2 số $a-b$ & $2a+2b+1$ đều là số chính phương.
Thà đừng yêu để giữ mình trong trắng
Lỡ yêu rôì nhất quyết phải thành công
#2
Đã gửi 28-01-2012 - 08:29
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Giải như sau:
Viết lại đề:
$$2a^2+a=3b^2+b \leftrightarrow (2a+2b)(a-b)-(a-b)=b^2 \leftrightarrow (2a+2b+1)(a-b)=b^2$$
Ta thấy $gcd(a-b;2a+2b+1)=1$ vì nếu giả sử $p|(a-b);(2a+b+1)$ với $p$ nguyên tố
Thì $p|(a-b)(2a+2b+1) \rightarrow p|b^2 \rightarrow p|b$ mà $p|a-b \rightarrow p|a$ Do vậy $|p2a+2b$ suy ra $p|1$ vô lý.
Do vậy $gcd(a-b)(2a+2b+1)=1$ mà tích chúng là số chính phương nên mỗi số là số chính phương $Q.E.D$
Viết lại đề:
$$2a^2+a=3b^2+b \leftrightarrow (2a+2b)(a-b)-(a-b)=b^2 \leftrightarrow (2a+2b+1)(a-b)=b^2$$
Ta thấy $gcd(a-b;2a+2b+1)=1$ vì nếu giả sử $p|(a-b);(2a+b+1)$ với $p$ nguyên tố
Thì $p|(a-b)(2a+2b+1) \rightarrow p|b^2 \rightarrow p|b$ mà $p|a-b \rightarrow p|a$ Do vậy $|p2a+2b$ suy ra $p|1$ vô lý.
Do vậy $gcd(a-b)(2a+2b+1)=1$ mà tích chúng là số chính phương nên mỗi số là số chính phương $Q.E.D$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 28-01-2012 - 08:32
- perfectstrong, Zaraki, cool hunter và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
