Chủ đề này có 4 trả lời

[huyentrang97]

1/ GPT nghiệm nguyên:
$30^{x}+4^{y}=2011^{z}(z\geq 0)$

[perfectstrong]

Lời giải:
Dễ thấy $x,y \geq 0$.
-Nếu $x=0$, phương trình trở thành:
$4^y=2011^z-1 =2011^z-1^z \vdots 2011-1 \vdots 10 \Rightarrow 4^y \equiv 0 \pmod {10}$: vô nghiệm nguyên do $4^y$ chia 10 chỉ có thể dư 1;2;4;6;8.
-Nếu $x \geq 1 \Rightarrow 30^x \vdots 10 \Rightarrow 4^y \equiv 2011^z \equiv 1 \pmod {10} \Rightarrow y=0$
phương trình trở thành: $30^x+1=2011^z$. Do đó $z \geq 1$
\[{30^x} + 1 = {2011^z} \Leftrightarrow {30^x} = {2011^z} - 1 = {2011^z} - {1^z} \vdots 2011 - 1 \vdots 67\]
Mà $(67;30)=1$ nên dẫn tới điều vô lý.
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm nguyên.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 27-01-2012 - 23:25

[nguyenta98]

Giải như sau:
Nếu $z=0$ suy ra $30^x+4^y=1$ vô lý
Nếu $z>0$ thì $2011^z$ lẻ
Do vậy trong hai số $30^x;4^y$ phải có một và chỉ một số lẻ.
Th1: $30^x$ lẻ suy ra $x=0 \rightarrow 30^x=1$
Do vậy $4^y+1=2011^z$
Dễ thấy $y>0$ nên $VP \equiv 1 \pmod{4}$ lại có $2011 \equiv 3 \pmod{4}$ do vậy $z$ chẵn nên $z=2k$
Suy ra $4^y+1=(2011^k)^2 \leftrightarrow (2^y)^2+1=(2011^k)^2 \leftrightarrow 1=(2011^k-2^y)(2011^k+2^y)$ đến đây suy ra loại
Th2: $30^x+1=2011^z$ tương tự $VP \equiv 1 \pmod{4}$ nên $z=2k$ (chẵn)
Suy ra $30^x=(2011^k-1)(2011^k+1)$
Thấy $2011^k-1;2011^k+1$ đều chẵn mà hiệu bằng 2 nên ắt phải có một số chỉ chia hết cho 2 mà không chia hết cho 4
Th1 nhỏ $2011^k-1=2.t$ ( $t$ lẻ ) do vậy $2011^k+1=2^{x-1}.u$ ( $u$ lẻ ) (chú ý rằng $30^x=2^x.3^{x}.5^x$)
Lại thấy $gcd(2011^k-1;2011^k+1)=1,2$ do vậy $gcd(t,u)=1$
Do vậy $u,t$ chỉ lọt trong 1 trong 3 kiểu $3^{x};5^x,15^x$
Lại thấy $2011^k-1<2011^k+1$ nên có 3th nữa.
Th1 riêng: $t=15^x$ suy ra loại vì khi đó $2011^k-1>2011^k+1$ vô lý
Th2 riêng: $t=3^x$ suy ra $2^{x-1}.5^x-2.3^x=2$ cái này loại do $2^{x-1}.5^x>>>2.3^x$ ($>>>$ là lớn hơn rất nhiều)
Th3 riêng: $t=5^x$ suy ra $2^{x-1}.3^x-2.5^x=2$ xét riêng $x=1,2,3,4$ đều loại nếu $n>4$ thì $2^{x-1}.3^x-2.5^x>2$ chứng minh quy nạp là ra.
Th2 nhỏ tương tự.
Bài toán không có nghiệm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 30-01-2012 - 12:38

[huyentrang97]

Th1: $30^x$ lẻ suy ra $x=0 \rightarrow 30^x=1$
Do vậy $4^y+1=2011^z$
Dễ thấy $y>0$ nên $VP \equiv 1 \pmod{4}$ lại có $2011 \equiv 4 \pmod{4}$ do vậy $z$ chẵn nên $z=2k$

Tại sao 2011\equiv4(mod4)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyentrang97: 29-01-2012 - 22:22

[Dung Dang Do]

Bạn huyentrang97 thắc mắc đúng bạn nguyenta98 viết sai $2011\equiv3 (mod4)$ mà bạn nguyenta98 viết sai thành $2011\equiv4 (mod4)$