Bài 1: $a^2+b^2+c^2+3<ab+3b+2c$
Bài 2: Tìm mọi số nguyên $x,y$ thỏa mãn
$y^2=x^3+(x+4)^2$
Tìm $a,b,c$ nguyên sao cho $a^2+b^2+c^2+3<ab+3b+2c$
Bắt đầu bởi vietnamthuaka, 28-01-2012 - 09:20
#2
Đã gửi 28-01-2012 - 10:05
Dung Dang Do
-
- Thành viên
-
- 524 Bài viết
Dũng Dang Dở
Ko mất tính tổng quát anh chém bài 1:
Giả sử $a>b \iff a-b \ge1 \to a^2+b^2+c^2+4 \le ab+3b+2c$
Biến đổi tương đương ta có:
$a^2+b^2+c^2+4-ab+3b+2c \le 0 \iff (a-\frac{1}{2}b)^{2}+3(\frac{1}{2}b-1)+(c-1)^2 \le 0$
Vậy $\boxed{a,b,c}=\boxed{1,2,1}$
p/s: Anh Dũng nha mọi người đừng nhầm với Tạ Nguyên Hà
Giả sử $a>b \iff a-b \ge1 \to a^2+b^2+c^2+4 \le ab+3b+2c$
Biến đổi tương đương ta có:
$a^2+b^2+c^2+4-ab+3b+2c \le 0 \iff (a-\frac{1}{2}b)^{2}+3(\frac{1}{2}b-1)+(c-1)^2 \le 0$
Vậy $\boxed{a,b,c}=\boxed{1,2,1}$
p/s: Anh Dũng nha mọi người đừng nhầm với Tạ Nguyên Hà
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98ka: 28-01-2012 - 10:35
- perfectstrong, Zaraki và vietnamthuaka thích
@@@@@@@@@@@@
#3
Đã gửi 28-01-2012 - 10:47
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Bài 1: Nhân cả hai vế với 2 ta có:
$$2a^2+2b^2+2c^2+6<2ab+6b+4c \leftrightarrow (a-b)^2+a^2+(b-3)^2+2(c-1)^2<5$$
Đến đây ta có $(a-b)^2;a^2;(b-3)^2;2(c-1)^2\geq 0$ thì dùng chặn ra ngay
Đáp số: $\boxed{(a,b,c)=(1,2,1)}$
Bài 2: Viết lại đề:
$$(y-(x+4))(y+(x+4))=x^3$$ Giả sử $p|x,y$ với $p$ nguyên tố.
Suy ra $p|x+4 \rightarrow p|4$ nên $p=2$ suy ra $gcd(x,y)=2,1$
Nếu $gcd(x,y)=2$ thì $x=2k,y=2t$ $gcd(k,t)=1$
Suy ra $4t^2=8k^3+(2k+4)^2 \leftrightarrow 4t^2=8k^3+4(k+2)^2 \leftrightarrow t^2=2k^3+(k+2)^2$
Nếu $t$ chẵn thì $k$ chẵn vô lý vì mâu thuẫn
Do vậy $t$ lẻ suy ra $k$ lẻ do vậy $VT \equiv 1 \pmod{4}$ nhưng $2k^3+(k+2)^2 \equiv 3 \pmod{4}$ suy ra mâu thuẫn.
Vậy $gcd(x,y)=1$ <1>
Viết lại đề: $(y-(x+4))(y+(x+4))=x^3$ mà $gcd(x,y)=1$ nên $gcd(y-(x+4);y+(x+4))=1$ vì nếu khác 1 thì giả sử chúng cùng chia hết cho 1 số $r$ nguyên tố.
Suy ra $r|x^3 \rightarrow r|x$ nên $y^2=x^3+(x+4)^2$ do vậy $y$ chẵn mâu thuẫn <1>
Do vậy $r|x+4$ và $r>2$ nên $r|x$ nên $r|4$ mà $r>2$ nên $r$ không tồn tại hay $gcd(y-(x+4);y+(x+4))=1$
Suy ra mỗi số $(y-(x+4));(y+(x+4))$ đều là số lập phương vì tích chúng là $x^3$ là số lập phương
Đặt $y-(x+4)=m^3;y+(x+4)=n^3$ nên $x=mn$ và $2(x+4)=n^3-m^3$ do vậy $2mn+8=n^3-m^3$
Khi đó ta chỉ cần giải
$2mn+8=n^3-m^3 \leftrightarrow (n-m)^3+3mn(n-m)-2mn=8 \leftrightarrow (3n-3m-1)((3n-3m)^2+(3n-3m)+1)+27mn(3n-3m-1)=215$
Đến đây nhóm nhân tử chung là $3n-3m-1$ sẽ ra phương trình ước số nhưng đáng tiếc nó lại không có nghiệm.
Vậy Phương trình $y^2=x^3+(x+4)^2$ vô nghiệm.
$$2a^2+2b^2+2c^2+6<2ab+6b+4c \leftrightarrow (a-b)^2+a^2+(b-3)^2+2(c-1)^2<5$$
Đến đây ta có $(a-b)^2;a^2;(b-3)^2;2(c-1)^2\geq 0$ thì dùng chặn ra ngay
Đáp số: $\boxed{(a,b,c)=(1,2,1)}$
Bài 2: Viết lại đề:
$$(y-(x+4))(y+(x+4))=x^3$$ Giả sử $p|x,y$ với $p$ nguyên tố.
Suy ra $p|x+4 \rightarrow p|4$ nên $p=2$ suy ra $gcd(x,y)=2,1$
Nếu $gcd(x,y)=2$ thì $x=2k,y=2t$ $gcd(k,t)=1$
Suy ra $4t^2=8k^3+(2k+4)^2 \leftrightarrow 4t^2=8k^3+4(k+2)^2 \leftrightarrow t^2=2k^3+(k+2)^2$
Nếu $t$ chẵn thì $k$ chẵn vô lý vì mâu thuẫn
Do vậy $t$ lẻ suy ra $k$ lẻ do vậy $VT \equiv 1 \pmod{4}$ nhưng $2k^3+(k+2)^2 \equiv 3 \pmod{4}$ suy ra mâu thuẫn.
Vậy $gcd(x,y)=1$ <1>
Viết lại đề: $(y-(x+4))(y+(x+4))=x^3$ mà $gcd(x,y)=1$ nên $gcd(y-(x+4);y+(x+4))=1$ vì nếu khác 1 thì giả sử chúng cùng chia hết cho 1 số $r$ nguyên tố.
Suy ra $r|x^3 \rightarrow r|x$ nên $y^2=x^3+(x+4)^2$ do vậy $y$ chẵn mâu thuẫn <1>
Do vậy $r|x+4$ và $r>2$ nên $r|x$ nên $r|4$ mà $r>2$ nên $r$ không tồn tại hay $gcd(y-(x+4);y+(x+4))=1$
Suy ra mỗi số $(y-(x+4));(y+(x+4))$ đều là số lập phương vì tích chúng là $x^3$ là số lập phương
Đặt $y-(x+4)=m^3;y+(x+4)=n^3$ nên $x=mn$ và $2(x+4)=n^3-m^3$ do vậy $2mn+8=n^3-m^3$
Khi đó ta chỉ cần giải
$2mn+8=n^3-m^3 \leftrightarrow (n-m)^3+3mn(n-m)-2mn=8 \leftrightarrow (3n-3m-1)((3n-3m)^2+(3n-3m)+1)+27mn(3n-3m-1)=215$
Đến đây nhóm nhân tử chung là $3n-3m-1$ sẽ ra phương trình ước số nhưng đáng tiếc nó lại không có nghiệm.
Vậy Phương trình $y^2=x^3+(x+4)^2$ vô nghiệm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 28-01-2012 - 10:49
- perfectstrong, Zaraki, Dung Dang Do và 1 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
