India National Olympiad 2012
Ngày 5/2/2012
Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong một đường tròn. Giả sử $AB=\sqrt{2+ \sqrt{2}}$ và $AB$ trương một cung có số đo $135^{\circ}$. Tìm diện tích trị lớn nhất của tứ giác $ABCD$.
Bài 2. Giả sử $ p_{1}<p_{2}<p_{3}<p_{4} $ và $ q_{1}<q_{2}<q_{3}<q_{4} $ là hai bộ số nguyên tố thỏa mãn $p_4-p_1=8$ và $q_4-q_1=8$. Giả sử $p_1>5$ và $q_1>5$. Chứng minh rằng $p_1-q_1$ chia hết cho $30$.
Bài 3. Cho một dãy các hàm số $\{f_n(x)\}_{n\geq 0}$ xác định như sau: \[ f_{0}(x)=1, f_{1}(x)=x,\ (f_{n}(x))^{2}-1=f_{n-1}(x)f_{n+1}(x),\ \text{for}\ n\geq 1. \] với $n=1,2,3,\ldots$. Chứng minh rằng mỗi hàm $f_n(x)$ là một đa thức với các hệ số nguyên.
Bài 4. Cho tam giác $ABC$, một điểm $P$ nằm bên trong tam giác $ABC$ được gọi là tốt nếu từ $P$ ta kẻ được đúng $27$ tia giao với các cạnh của tam giác $ABC$ sao cho tam giác $ABC$ được chia thành $27$ tam giác nhỏ hơn đều có diện tích bằng nhau. Tìm số các điểm tốt của tam giác $ABC$.
Bài 5. Cho tam giác nhọn $ABC$. Giả sử $D,E,F$ là các điểm nằm trên $BC, CA, AB$ sao cho $AD$ là trung tuyến , $BE$ là phân giác trong và $CF$ là đường cao. Biết rằng $ \angle FDE=\angle C,\angle DEF=\angle A $ và $ \angle EFD=\angle B$. Chứng minh rằng $ABC$ là tam giác đều.
Bài 6. Cho một hàm số $ f :\mathbb{Z}\to\mathbb{Z} $ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
- $ f(0) \ne 0 $, $f(1) = 0$
- $ f(xy) + f(x)f(y) = f(x)+f(y)$ và $ \left( f(x-y)-f(0) \right) f(x)f(y) = 0 $ với mọi $ x,y\in \mathbb{Z} $.
- Tìm tập tất cả các giá trị của hàm $f$.
- Nếu $f(10) \ne 0$ và $f(2)=0$, tìm tập tất cả các số nguyên $n$ để $f(n) \ne 0$.
