Đến nội dung

Hình ảnh

Cho số nguyên tố $p,q$ sao cho $q \mid p^2+1$ và $p \mid q^2-1$. Chứng minh rằng $p+q+1$ là hợp số.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 4273 Bài viết
Cho số nguyên tố $p,q$ sao cho $q \mid p^2+1$ và $p \mid q^2-1$. Chứng minh rằng $p+q+1$ là hợp số.

Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.

 

Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”). 


#2
nguyenta98

nguyenta98

    Thượng úy

  • Hiệp sỹ
  • 1259 Bài viết

Cho số nguyên tố $p,q$ sao cho $q \mid p^2+1$ và $p \mid q^2-1$. Chứng minh rằng $p+q+1$ là hợp số.

Giải như sau:
$$p|q^2-1 \rightarrow p|q^2+2pq+q^2-1 \rightarrow p|(q+p-1)(q+p+1)$$
TH1: $p|q+p-1 \rightarrow p|q-1 \rightarrow q-1=pk \rightarrow q=pk+1$
$$\rightarrow pk+1|p^2+1 \rightarrow p^2+1=(pk+1)r=pkr+r \rightarrow p^2-p(kr)-(r-1)=0<1>$$
Để $<1>$ có nghiệm nguyên thì $\Delta =(kr)^2+4(r-1)$ chính phương ($k,r\geq 1$)
Nhưng $(kr)^2<(kr)^2+4(r-1) <2>$
Giờ ta xét $(kr+1)^2$ và $(kr)^2+4(r-1)$
Nếu $(kr)^2+4(r-1)<(kr+1)^2$ kết hợp với $<2>$ suy ra $(kr)^2+4(r-1)$ không là số chính phương, loại
Do đó
$$(kr)^2+4(r-1)\geq (kr+1)^2 \rightarrow 4(r-1)\geq 2kr+1$$
$$\rightarrow 4r\geq 2kr+5>2kr \rightarrow 4r>2kr \rightarrow 2>k \rightarrow k=1$$
Như vậy $(p+1)|p^2+1 \rightarrow (p+1)|p^2-1+2 \rightarrow (p+1)|2$ loại vì $p\in \mathbb{P}$
Do đó TH này loại
TH2: $p|p+q+1$ suy ra $đpcm$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 19-04-2012 - 13:22





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh