Cho số nguyên tố $p,q$ sao cho $q \mid p^2+1$ và $p \mid q^2-1$. Chứng minh rằng $p+q+1$ là hợp số.
#1
Đã gửi 10-02-2012 - 19:59
- chardhdmovies yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 19-04-2012 - 13:12
Giải như sau:Cho số nguyên tố $p,q$ sao cho $q \mid p^2+1$ và $p \mid q^2-1$. Chứng minh rằng $p+q+1$ là hợp số.
$$p|q^2-1 \rightarrow p|q^2+2pq+q^2-1 \rightarrow p|(q+p-1)(q+p+1)$$
TH1: $p|q+p-1 \rightarrow p|q-1 \rightarrow q-1=pk \rightarrow q=pk+1$
$$\rightarrow pk+1|p^2+1 \rightarrow p^2+1=(pk+1)r=pkr+r \rightarrow p^2-p(kr)-(r-1)=0<1>$$
Để $<1>$ có nghiệm nguyên thì $\Delta =(kr)^2+4(r-1)$ chính phương ($k,r\geq 1$)
Nhưng $(kr)^2<(kr)^2+4(r-1) <2>$
Giờ ta xét $(kr+1)^2$ và $(kr)^2+4(r-1)$
Nếu $(kr)^2+4(r-1)<(kr+1)^2$ kết hợp với $<2>$ suy ra $(kr)^2+4(r-1)$ không là số chính phương, loại
Do đó
$$(kr)^2+4(r-1)\geq (kr+1)^2 \rightarrow 4(r-1)\geq 2kr+1$$
$$\rightarrow 4r\geq 2kr+5>2kr \rightarrow 4r>2kr \rightarrow 2>k \rightarrow k=1$$
Như vậy $(p+1)|p^2+1 \rightarrow (p+1)|p^2-1+2 \rightarrow (p+1)|2$ loại vì $p\in \mathbb{P}$
Do đó TH này loại
TH2: $p|p+q+1$ suy ra $đpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 19-04-2012 - 13:22
- perfectstrong, Zaraki, yeutoan11 và 9 người khác yêu thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh