Chủ đề này có 4 trả lời

[Zaraki]

Giải phương trình nghiệm nguyên $$a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}.(ab+ac+bc)$$

[nguyenta98]

Giải phương trình nghiệm nguyên $$a^2+b^2+c^2=\frac{5}{3}.(ab+ac+bc)$$

Giải như sau:
Biến đổi phương trình như sau, ta có $a,b,c \in \mathbb {Z}$
$pt \leftrightarrow 3a^2+3b^3+3c^2-5ab-5bc-5ca=0$
$\leftrightarrow 3a^2-5a(b+c)+(3b^2+3c^2-5bc)=0$
$\rightarrow \Delta_a=[5(b+c)]^2-4.3.(3b^2+3c^2-5bc)=11(24c^2-(b-5c)^2)$
$\rightarrow \Delta_a=u^2$
$\leftrightarrow 11(24c^2-(b-5c)^2)=u^2$
$\rightarrow 11|u \rightarrow u=11k$
$\rightarrow 24c^2-(b-5c)^2=11k^2$
$\leftrightarrow 24c^2=11k^2+(b-5c)^2<*>$
Nhận xét một số chính phương chia $11$ dư $0,1,3,4,5,9$ $<1>$
Do đó $(b-5c)^2 \equiv 0,1,3,4,5,9 \pmod{11} \rightarrow 24c^2 \equiv 0,1,3,4,5,9 \pmod{11}$
Suy ra $24c^2 \equiv 2c^2 \equiv 0,1,3,4,5,9 \equiv 0,12,36,48,60,42 \pmod{11} \rightarrow c^2 \equiv 0,2,6,8,10,7 \pmod{11}$
Nhưng ta theo $<1>$ nên suy ra $c^2 \equiv 0 \pmod{11} \rightarrow c \vdots 11<2>$
Ta xét phương trình $<*>$
$(b-5c)^2+11k^2=24c^2$
Đặt ẩn phụ ta có
$(b-5c)=x$
$\rightarrow x^2+11k^2=24c^2$
Giả sử phương trình trên có nghiệm $(x_1,k_1,c_1)$
Theo $<2> \rightarrow c_1=11c_0$ và do $11|c_1 \rightarrow 11|x_1 \rightarrow x_1=11x_0$
Viết lại phương trình
$$x_1^2+11k_1^2=24c_1^2$$
$$\leftrightarrow 11x_0^2+k_1^2=24.11.x_0^2 \rightarrow k_1 \vdots 11 \rightarrow k_1=11k_0$$
$$\rightarrow x_0^2+11k_0^2=24x_0^2$$
Như vậy ta thấy cứ khi có bộ nghiệm $(x_1,k_1,c_1)$ lại có bộ nghiệm $(x_0,k_0,c_0)$ với $x_0<x_1,k_0<k_1,c_0<c_1$
Do đó ta cứ tìm nghiệm lại có nghiệm bé hơn, các nghiệm sẽ nhỏ dần đến $0$ quá $0$ đến âm vô cực, đây là điều vô lý do $a,b,c$ là $3$ số xác định
Suy ra phương trình $<*>$ suy ra
$\leftrightarrow 24c^2=11k^2+(b-5c)^2<*>$
Có nghiệm $c=0$
Tương tự khi chọn $\Delta_b, \Delta_c$ đều thu được $a=b=c=0$ là bộ nghiệm tầm thường
Vậy $\boxed{(a,b,c)=(0,0,0)}$

P/S: Để kiểm tra tính đúng đắn của bài làm của mình, mọi người vào đây nhé, phần integer solution (nghiệm nguyên) http://www.wolframal...+a*c+%2B+b*c%29

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 07-06-2012 - 11:42

[C a c t u s]

Cho tớ hỏi đây là cách của lớp mấy vậy? Tớ học lớp 8 đọc mà chẳng hiểu gì cả

[hamdvk]

Cho tớ hỏi đây là cách của lớp mấy vậy? Tớ học lớp 8 đọc mà chẳng hiểu gì cả

Đây là phương pháp miền giá trị của lớp 9 ( tạm gọi như vậy )
có sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai
ngoài ra còn có nguyên tắc cực hạn
!!!
em đọc sách là thấy ngay

[nguyenta98]

Cho tớ hỏi đây là cách của lớp mấy vậy? Tớ học lớp 8 đọc mà chẳng hiểu gì cả

Đây là phương pháp miền giá trị của lớp 9 ( tạm gọi như vậy )
có sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai
ngoài ra còn có nguyên tắc cực hạn
!!!
em đọc sách là thấy ngay

Thú thực với bạn là mình cũng học lớp 8 mà, nói thật thì số học không quan trọng về lớp, và nói chung toán học cũng như vậy, quan trọng là kĩ năng mà thôi, nếu ai cố gắng làm và suy nghĩ, đầu óc tổng hợp thì sẽ làm được thôi, điều đó dẫn đến tại sao lại có học sinh lớp 5 giải được bài đại học, lớp 1 giải bài lớp 12!!, tố chất là một phần nhưng 99% là chăm chỉ luyện tập, rèn luyện đúc kết kỹ năng thôi
Trở lại với bài
Bài trên sử dụng phương pháp Delta (lớp 8-9)
Sử dụng nguyên tắc cực hạn, đồng dư (lớp 6,7,8,9,10,11,12)