Chủ đề này có 14 trả lời

[Cao Xuân Huy]

Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9

Năm học 2011-2012

______________________________________

Môn thi:Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề)

______________________________________

Bài 1. (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức: $A = \left( {\frac{{2\sqrt x + 1}}{{x + 2\sqrt x + 1}} + \frac{{1 - 2\sqrt x }}{{x - 1}}} \right).\left( {1 + \frac{1}{{\sqrt x }}} \right)$ với $x>0;x\ne 1$. Rút gọn biểu thức $A$ và tìm các giá trị nguyên của $x$ để $A$ là số nguyên.

b) Cho biểu thức:
\[M = \left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\left( {\sqrt x + \sqrt {x + 1} - \sqrt {x + 2} } \right)\left( {\sqrt x - \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\left( { - \sqrt x + \sqrt {x + 1} + \sqrt {x + 2} } \right)\]
Với $x$ là số tự nhiên khác $0$. Chứng minh $M$ cũng là số tự nhiên.

Bài 2. (2,0 điểm)

a) Tìm $x$ biết: $\sqrt{x+24}+\sqrt{x-16}=10$

b) Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + xy + y = 9\\y + yz + z = 4\\z + zx + x = 1\end{array} \right.$

Bài 3. (2,0 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tứ giác $ABCD$ có $A(0;1);B(0;4);C(6;4)$ và $D(4;1)$. Gọi d là đường thẳng cắt các đoạn thẳng $AD,BC$ lần lượt tại $M,N$ sao cho đường thẳng $d$ chia tứ giác $ABCD$ thành 2 phần có diện tích bằng nhau, biết phương trình đường thẳng d có dạng $y=mx-\frac{5m}{3}$ (với $m\ne 0$).

a) Tìm tọa độ của $M$ và $N$.

b)Tìm toạn độ điểm $Q$ trên $d$ sao cho khoảng cách từ $Q$ đến trục $Ox$ bằng 2 lần khoảng cách từ $Q$ đến $Oy$.

Bài 4. (2,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ đều nội tiếp đường tròn tâm $O$, gọi $H$ là trung điểm $BC$. Trên các cạnh $AB,AC$ lần lượt lấy hai điểm $D,E$ sao cho $\widehat{DHE}=60^o$. Lấy $M$ bất kì trên cung nhỏ $AB$.

a) Chứng minh ba đường phân giác của ba góc $\widehat{BAC},\widehat{BDE},\widehat{DEC}$ đồng quy.

b) Cho $AB$ có độ dài $1$ đơn vị. Chứng minh: $MA+MB < \frac{4}{3}$

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ không cân, vẽ phân giác trong $Ax$ của góc $A$. Vẽ đường thẳng $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Gọi $E$ là giao của $Ax$ và $d$. Chứng minh $E$ nằm ngoài tam giác $ABC$.

Bài 6. (1,0 điểm)

Cho $x,y,z$ là ba số thực dương thỏa điều kiện $xyz=1$. Chứng minh rằng:
\[\frac{1}{{1 + {x^3} + {y^3}}} + \frac{1}{{1 + {y^3} + {z^3}}} + \frac{1}{{1 + {z^3} + {x^3}}} \le 1\]

*Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài thi.

----------------------HẾT----------------------

________________________________________

P/s: Đề này mình mới thi sáng nay. Thi xong ai cũng kêu đề dài quá.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 16-02-2012 - 17:41

[yeutoan11]

câu BĐT ngon quá $\sum \frac{1}{1+a^3+b^3}\leq \sum \frac{1}{1+a^2b+ab^2}= \sum \frac{c}{a+b+c}=1$

[Ispectorgadget]

Bài 2:
b)
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x(y + 1) + y + 1 = 10 \\
y(z + 1) + z + 1 = 5 \\
z(1 + x) + 1 + x = 2 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
(x + 1)(y + 1) = 10 \\
(y + 1)(z + 1) = 5 \\
(z + 1)(1 + x) = 2 \\
\end{array} \right.
\]

Nhân lại $(1+x)^2(1+y)^2(1+z)^2=100$
\[
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
(1 + x)(1 + y)(1 + z) = 10 \\
(1 + x)(1 + y)(1 + z) = - 10 \\
\end{array} \right.
\]
Tới đây chắc ai cũng làm được
@Huy: Làm bài thi được không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 17-02-2012 - 17:59

[Cao Xuân Huy]

Câu 1: a)
\[
(\frac{{2\sqrt x + 1}}{{(\sqrt x + 1)^2 }} + \frac{{1 - 2\sqrt x }}{{(\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}})(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}) = \frac{{2\sqrt x + 1}}{{(\sqrt x + 1)\sqrt x }} + \frac{{(1 - 2\sqrt x )}}{{(\sqrt x - 1)\sqrt x }}
\]
\[
= \frac{{ - 2(\sqrt x + 1)}}{{\sqrt x (\sqrt x - 1)(\sqrt x + 1)}} = \frac{{ - 2}}{{x - \sqrt x }}
\]

Tới đây đúng không nhỉ

Anh giải sai rồi. Bài này kết quả là: $A=\frac{2}{1-x}$.
Anh nhầm chỗ nhân đa thức ở dòng thứ 2 ấy.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 16-02-2012 - 19:13

[yeutoan11]

Bài 2: Câu a
Điều kiện $x \ge 16$
Gọi $u=\sqrt{x+24};v=\sqrt{x-16}(u;v\geq 0)$
Ta có hệ sau\[
\left\{ \begin{array}{l}
u^2 + v^2 = 8 \\
u + v = 10 \\
\end{array} \right.
\]
\[
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
(u + v)^2 - 2uv = 8 \\
u + v = 10 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
uv = 46 \\
u + v = 10 \\
\end{array} \right.
\]
Hệ này vô nghiệm do đó phương trình trên vô nghiệm (đúng không nhỉ)
b)
\[
\left\{ \begin{array}{l}
x(y + 1) + y + 1 = 10 \\
y(z + 1) + z + 1 = 5 \\
z(1 + x) + 1 + x = 2 \\
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
(x + 1)(y + 1) = 10 \\
(y + 1)(z + 1) = 5 \\
(z + 1)(1 + x) = 2 \\
\end{array} \right.
\]

Nhân lại $(1+x)^2(1+y)^2(1+z)^2=100$
\[
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
(1 + x)(1 + y)(1 + z) = 10 \\
(1 + x)(1 + y)(1 + z) = - 10 \\
\end{array} \right.
\]
Tới đây chắc ai cũng làm được
@Huy: Làm bài thi được không?

Anh nhầm rồi , Phải là $u^2-v^2$ = 40
__
Ờ nhầm mà nói chung hường giải là đưa về hệ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 17-02-2012 - 18:00

[Để tử Wallunint]

2 bai hinh chua giai ra thi danh trong!Moi lam duoc 1 2 3 6 ! 1a) x=3,2
1b) 3x(x+2)-1 hoac 3(x+1)^2 -4 thuoc N
2)a)x=25
b)ra 2 nghiem ma em quen!lam co 1 nghiem(tuc qua)!!!!!
3)a) y=1;4 x= theo m(quen roi)
b) y=2x va y=-2x (minh lam nham cho y=-2x thanh -y=-2x) (
4.5)bi'
6)nhu tren!

[nhantd97]

2 bai hinh chua giai ra thi danh trong!Moi lam duoc 1 2 3 6 ! 1a) x=3,2
1b) 3x(x+2)-1 hoac 3(x+1)^2 -4 thuoc N
2)a)x=25
b)ra 2 nghiem ma em quen!lam co 1 nghiem(tuc qua)!!!!!
3)a) y=1;4 x= theo m(quen roi)
b) y=2x va y=-2x (minh lam nham cho y=-2x thanh -y=-2x) (
4.5)bi'
6)nhu tren!

Mi làm ra bài 4,5 chưa Phi ??? Công nhận lắc léo khó đỡ
___________________________
Lần sau còn spam thì xóa bài không báo trước

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Cao Xuân Huy: 19-02-2012 - 11:28

[NLT]

Các bạn ở Đà Nẵng ah`, cho mình làm quen với. Mà ở Đà Nẵng thi cấp tỉnh rồi ah`??? Mấy bạn làm được hok, bạn Huy ý, làm được tất cả chứ ????

[gaea]

cho mình hỏi bài 6 làm sao

[Supermath98]

Đề này em đăng kí bài hình tiếp nhá. Bài 4 ý

[taduyhung]

Bài 5. (1,0 điểm)

Cho tam giác $ABC$ không cân, vẽ phân giác trong $Ax$ của góc $A$. Vẽ đường thẳng $d$ là trung trực của đoạn thẳng $BC$. Gọi $E$ là giao của $Ax$ và $d$. Chứng minh $E$ nằm ngoài tam giác $ABC$.
Giải:
Giả sư tam giác AB<AC theo tính chât đương phân giác trong tam giác BE<EC nên nó căt trung trưc của BC ở ngoài tam giác ABC

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi taduyhung: 13-12-2013 - 21:20

[Quanghuy2399]

Câu 4 làm thế nào

[thucboss0123]

[kvpa915gstn]

 

Bài 3. (2,0 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho tứ giác $ABCD$ có $A(0;1);B(0;4);C(6;4)$ và $D(4;1)$. Gọi d là đường thẳng cắt các đoạn thẳng $AD,BC$ lần lượt tại $M,N$ sao cho đường thẳng $d$ chia tứ giác $ABCD$ thành 2 phần có diện tích bằng nhau, biết phương trình đường thẳng d có dạng $y=mx-\frac{5m}{3}$ (với $m\ne 0$).

a) Tìm tọa độ của $M$ và $N$.

b)Tìm toạn độ điểm $Q$ trên $d$ sao cho khoảng cách từ $Q$ đến trục $Ox$ bằng 2 lần khoảng cách từ $Q$ đến $Oy$.

 

Bài 3 mọi người làm kiểu gì ạ?

Dạng này em chưa gặp bao giờ

[daokienminh]

Câu 6:     $x,y,z>0 ; x,y,z \in \mathbb{R} ; xyz=1$

 

Ta có $1+x^3+y^3 \ge 3 \sqrt[3]{1.x^3y^3} = 3xy = \frac{1}{3xy}$ (BĐT Cauchy cho 3 số dương)

    Tương tự trên $1+y^3+z^3 \ge \frac{1}{3yz}; \, 1+z^3+x^3 \ge \frac{1}{3zx}$

$\Rightarrow$ Biểu thức trở thành : $\frac{1}{1+x^{3}+y^{3}} + \frac{1}{1+y^{3}+z^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}+x^{3}} \geq \frac{1}{3xy}+\frac{1}{3yz} + \frac{1}{3zx}$

         Ta có : $\frac{1}{3xy} + \frac{1}{3yz} + \frac{1}{3zx} = \frac{x+y+z}{3xzy} = \frac{x+y+z}{3}$(do $xyz=1$)

  Ta có: $x+y+z \ge 3 \sqrt[3]{xyz} = 3$ (BĐT Cauchy cho 3 số dương $x,y,z >0$)

            $\Rightarrow \frac{x+y+z}{3} = \frac{3}{3} = 1$

từ đó suy ra đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 24-12-2023 - 23:28
LaTeX