Chủ đề này có 8 trả lời

[Crystal]

Bài 1. (3 điểm)
Rút gọn biểu thức sau: $$A = \left( {\sqrt {\sqrt 3 + 2 - \sqrt {31 - 12\sqrt 3 } } - \sqrt 3 } \right):\left( {\sqrt[3]{{5\sqrt 2 + 7}} - \sqrt[3]{{5\sqrt 2 - 7}}} \right)$$
Bài 2. (3 điểm)
Chứng minh rằng nếu hai phương trình ${x^2} + bx + c = 0;{x^2} + 3bx + 3c = 0$ có nghiệm thì phương trình ${x^2} + 2bx + 2c = 0$ có nghiệm.

Bài 3. (4 điểm)
Cho hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - 1} \right)x - \left( {m - 1} \right)y = m - 37\\
x + 2y = 3m + 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{với m là tham số}$$
a. Với $m$ nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b. Tìm $m$ nguyên để hệ phương trình có nghiệm $x,y$ nguyên và $x+y$ bé nhất.

Bài 4. (4 điểm)
a.Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ thì $$\frac{{{a^4} + {b^4}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^4}$$
Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào.

b. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $$P\left( x \right) = {x^4} - 8{x^2} - x + 12$$
Bài 5. (6 điểm)
Gọi $A',B',C'$ lần lượt là trung điểm của các cung $BC,CA,AB$ không chứa các điểm $A,B,C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. BC cắt $A'C'$ và $A'B'$ tại $M$ và $N$; $CA$ cắt $A'B'$ và $B'C'$ tại $P$ và $Q$; $AB$ cắt $B'C'$ và $A'C'$ tại $R$ và $S$.
a. Chứng tỏ rằng $AA',BB',CC'$ đồng quy tại $I$.
b. Chứng minh rằng $IQAR$ là hình thoi.
c. Tìm điều kiện của tam giác $ABC$ để $MN=PQ=RS$.

-------------HẾT-------------

[yeutoan11]

Bài 1. (3 điểm)
Rút gọn biểu thức sau: $$A = \left( {\sqrt {\sqrt 3 + 2 - \sqrt {31 - 12\sqrt 3 } } - \sqrt 3 } \right):\left( {\sqrt[3]{{5\sqrt 2 + 7}} - \sqrt[3]{{5\sqrt 2 - 7}}} \right)$$
Bài 2. (3 điểm)
Chứng minh rằng nếu hai phương trình ${x^2} + bx + c = 0;{x^2} + 3bx + 3c = 0$ có nghiệm thì phương trình ${x^2} + 2bx + 2c = 0$ có nghiệm.

Bài 3. (4 điểm)
Cho hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {m - 1} \right)x - \left( {m - 1} \right)y = m - 37\\
x + 2y = 3m + 1
\end{array} \right.\,\,\,\,\,\text{với m là tham số}$$
a. Với $m$ nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
b. Tìm $m$ nguyên để hệ phương trình có nghiệm $x,y$ nguyên và $x+y$ bé nhất.

Bài 4. (4 điểm)
a.Chứng minh rằng với mọi số thực $a,b$ thì $$\frac{{{a^4} + {b^4}}}{2} \ge {\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^4}$$
Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi nào.

b. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $$P\left( x \right) = {x^4} - 8{x^2} - x + 12$$
Bài 5. (6 điểm)
Gọi $A',B',C'$ lần lượt là trung điểm của các cung $BC,CA,AB$ không chứa các điểm $A,B,C$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. BC cắt $A'C'$ và $A'B'$ tại $M$ và $N$; $CA$ cắt $A'B'$ và $B'C'$ tại $P$ và $Q$; $AB$ cắt $B'C'$ và $A'C'$ tại $R$ và $S$.
a. Chứng tỏ rằng $AA',BB',CC'$ đồng quy tại $I$.
b. Chứng minh rằng $IQAR$ là hình thoi.
c. Tìm điều kiện của tam giác $ABC$ để $MN=PQ=RS$.

-------------HẾT-------------

4) a)
$(1+1)(1+1)(1+1)(a^4 + b^4)\geq (a+b)^4$.....Q.E.D

[ToanHocLaNiemVui]

Ta có BT fụ: CMR: $x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}$. Dễ dàn Cm được BT này bằng cách dùng BĐT Cauchy-Schwarz.( Dấu "=" xr<=> x=y)
AD BTF trên ta có:
$a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{\left [ \frac{(a+b)^{2}}{2} \right ]^{2}}{2}=\frac{(a+b)^{4}}{8}$.
=> đpcm. Dấu "=" xr <=> a=b

[Mai Duc Khai]

4)b
$P(x)=x^4-8x^2-x+12=(x^2-x-4)(x^2+x-3)$
P/s: có vẻ đề hsg của An Giang là dễ nhất

[ToanHocLaNiemVui]

Bài 2:
Ta có:
$\Delta _1=b^{2}-4c\geq 0$ (Vì PT 1 có nghiệm) (1)
$\Delta _2=9b^{2}-12c\geq 0$ (vì PT 2 có nghiệm) => $3b^{2}-4c\geq 0$ (2)
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được:
$4b^{2}-8c=\Delta _3\geq 0$.
=> PT 3 có nghiệm=> đpcm

[ToanHocLaNiemVui]

Câu 5, a). Dễ dàng chừng minh được ${AA}',{BB}',{CC}'$ là 3 tia phân giác của tam giác ABC.

[toanc2tb]

4) a)
$(1+1)(1+1)(1+1)(a^4 + b^4)\geq (a+b)^4$.....Q.E.D

 

Ta có BT fụ: CMR: $x^{2}+y^{2}\geq \frac{(x+y)^{2}}{2}$. Dễ dàn Cm được BT này bằng cách dùng BĐT Cauchy-Schwarz.( Dấu "=" xr<=> x=y)
AD BTF trên ta có:
$a^{4}+b^{4}\geq \frac{(a^{2}+b^{2})^{2}}{2}\geq \frac{\left [ \frac{(a+b)^{2}}{2} \right ]^{2}}{2}=\frac{(a+b)^{4}}{8}$.
=> đpcm. Dấu "=" xr <=> a=b

 

Nhưng mà đề bài là $\frac{(a+b)^4}{16} mà!$

[lahantaithe99]

Nhưng mà đề bài là $\frac{(a+b)^4}{16} mà!$

Thì bạn ToanhocLaNiemVui viết $a^4+b^4\geq \frac{(a+b)^4}{8}\Leftrightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{(a+b)^4}{16}$ (đây là đpcm)

[toanc2tb]

Thì bạn ToanhocLaNiemVui viết $a^4+b^4\geq \frac{(a+b)^4}{8}\Leftrightarrow \frac{a^4+b^4}{2}\geq \frac{(a+b)^4}{16}$ (đây là đpcm)

Ukm, sory!