Chủ đề này có 4 trả lời

[Tham Lang]

Góp vui với box một vài bài :
Bài 1.Giải phương trình vô tỉ :
$$\left (1 + x - \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008} + \left (1 + x + \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008} = 2^{2009}$$
Bài 2.Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{array}{1}\left (xy + 1\right )^3 = 2y^3\left (9 - 5y\right ) \\5xy^2 = 1 + 3y + xy \end{array}\right.$$

[MIM]

Bài 2.Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{array}{1}\left (xy+1\right)^3 = 2y^3 \left(9-5y\right ) \\5xy^2 = 1 + 3y + xy \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{1}\left (xy+1\right)^3 = 2y^3 \left(9 - 5y\right ) \\5xy^2 = 1 + 3y + xy \end{array}\right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}(xy+1)^3=2y^3(9-5xy) \\xy(5y-1)=1+3y \\ \end{array} \right.$$

Nếu $y=\frac{1}{5}$ thì hệ vô nghiệm

Nếu $y \neq \frac{1}{5}$ thì $xy=\frac{1+3y}{5y-1}$ thế vào pt đầu có

$(\frac{1+3y}{5y-1}+1)^3=2y^3(9-5y)$


Tới đây tìm được $y$, thế vào tìm được $x$

[hoangtrong2305]

Bài 1.Giải phương trình vô tỉ :
$$\left (1 + x - \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008} + \left (1 + x + \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008} = 2^{2009}$$

$$\left (1 + x - \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008} + \left (1 + x + \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008} = 2^{2009}$$

ĐKXĐ: $\begin{bmatrix} x\leq -1\\ x\geq 1 \end{bmatrix}$

Xét $x=-1$, loại vì không thoả phương trình

Xét $x=1$, nhận vì thoả phương trình

Xét ĐK $\begin{bmatrix} x< -1\\ x> 1 \end{bmatrix}$

$\left (1 + x - \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008} + \left (1 + x + \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008} = 2^{2009}$

$\Leftrightarrow \left [\frac{[(1+x)-\sqrt{x^{2}-1}][(1+x)+\sqrt{x^{2}-1}]}{(1+x)+\sqrt{x^{2}-1}}\right ]^{2008} + \left [\frac{[(1+x)+\sqrt{x^{2}-1}][(1+x)-\sqrt{x^{2}-1}]}{(1+x)-\sqrt{x^{2}-1}}\right ]^{2008} = 2^{2009}$

$\Leftrightarrow \left [\frac{2+2x}{(1+x)+\sqrt{x^{2}-1}}\right ]^{2008} + \left [\frac{2+2x}{(1+x)-\sqrt{x^{2}-1}}\right ]^{2008} = 2^{2009}$

$\Leftrightarrow \left [\frac{2(1+x)}{(1+x)+\sqrt{x^{2}-1}}\right ]^{2008} + \left [\frac{2(1+x)}{(1+x)-\sqrt{x^{2}-1}}\right ]^{2008} = 2^{2009}$ (*)

Đặt $\left\{\begin{matrix} a=1+x\\ b=\sqrt{x^{2}-1} \end{matrix}\right.$

Theo đề bài, ta có phương trình: $(a-b)^{2008}+(a+b)^{2008}=2^{2009}$

Theo $(*)$, ta có phương trình:

$\left (\frac{2a}{a+b}\right )^{2008} + \left (\frac{2a}{(a-b)}\right )^{2008} = 2^{2009}$

$\Leftrightarrow \left (\frac{a}{a+b}\right )^{2008} + \left (\frac{a}{(a-b)}\right )^{2008} = 2$

$\Leftrightarrow a^{2008}(a-b)^{2008}+a^{2008}(a+b)^{2008}=2(a+b)^{2008}(a-b)^{2008}$

$\Leftrightarrow a^{2008}[(a-b)^{2008}+(a+b)^{2008}]=2(a+b)^{2008}(a-b)^{2008}$

$\Leftrightarrow 2^{2009}.a^{2008}=2(a+b)^{2008}(a-b)^{2008}$

$\Leftrightarrow (2a)^{2008}=(a^{2}-b^{2})^{2008}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2a=a^{2}-b^{2}\\ 2a=b^{2}-a^{2} \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2+2x=1+2x+x^{2}-x^{2}+1\\ 2+2x=x^{2}-1-1-2x-x^{2} \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 2=2(true)\\ x+1=0 \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow x=-1$ (loại)

$\Rightarrow$ Phương trình có 1 nghiệm

$$\boxed{x=1}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 31-03-2012 - 09:27

[Tham Lang]

Bạn kiểm tra lại nhé, phương trình có nghiệm.

[minh29995]

Góp vui với box một vài bài :
Bài 1.Giải phương trình vô tỉ :
$$\left (1 + x - \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008} + \left (1 + x + \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008} = 2^{2009}$$

$\left (1 + x - \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008} + \left (1 + x + \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008} = 2^{2009}$ ( $\left |x \right | \geq 1$ )
$\Leftrightarrow \left (1 + x - \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008}-2^{2008} + \left (1 + x + \sqrt{x^2 - 1}\right )^{2008}-2^{2008} = 0$
$\Leftrightarrow \left (x-1-\sqrt{x^{2}-1} \right ).S + \left (x-1+\sqrt{x^{2}-1} \right ).S'=0$
TH1: $x\leq -1$ Đặt -x=t ta được
$\Leftrightarrow \left (t+1-\sqrt{t^{2}-1} \right ).S' + \left (t+1+\sqrt{t^{2}-1} \right ).S=0$
$\Leftrightarrow \left (\sqrt{t+1}-\sqrt{t-1} \right ).S' + \left (\sqrt{t+1}+\sqrt{t-1} \right ).S=0$ ( do $\sqrt{t+1} >0$)
Dễ thấy PT này vô nghiệm do $\sqrt{t+1}-\sqrt{t-1} > 0, \sqrt{t+1}+\sqrt{t-1}>0$
và S,S' >0 do $m^{2k+2}+1>m^{2k+1}$ ( m là 1 số hạng chứa x trong S và S', cái này bạn phân tích ra sẽ thấy)
TH2: $x\geq 1$
PT tương đương với
$(S+S')(x-1)+(S'-S)\sqrt{x^{2}-1}$
$<=>\begin{bmatrix} (S+S')\sqrt{x-1}+(S'-S)\sqrt{x+1}=0 (1) \\ x=1 \end{bmatrix}$
Dễ thấy $S'\geq S$ do $x+1-\sqrt{x^{2}-1}\leq x+1+\sqrt{x^{2}-1}$
Do đó PT (1) vô nghiệm do VT>0

KẾT LUẬN: PT có nghiệm duy nhất x=1