Chủ đề này có 7 trả lời

[sonksnb]

Cho a,b,c la nhung so thuc duong.Chung minh rang:
$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\geq 3+\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

[minh29995]

Cho a,b,c la nhung so thuc duong.Chung minh rang:
$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\geq 3+\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

Bất đẳng thức tương đương với
$\sum\frac{(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}\geq \sum \frac{(a-b)^{2}}{(a+b+c)^{2}}$
$\Leftrightarrow \sum\left (\frac{(a-b)^{2}}{(a+c)(b+c)}- \frac{(a-b)^{2}}{(a+b+c)^{2}} \right )\geq 0$
$\Leftrightarrow \sum\left (\frac{1}{(a+c)(b+c)}- \frac{1}{(a+b+c)^{2}} \right ).(a-b)^{2} \geq 0$
Dễ thấy BĐt đúng do $S_{a},S_{b},S_{c}> 0$

[phuongnamz10A2]

Có cách nào khác không nhỉ, vì tớ chưa học S.O.S nên hơi khó hiểu. Đây mới là đề thi lớp 10 mà, chắc không được dùng phương pháp này.

[Ispectorgadget]

Cho a,b,c la nhung so thuc duong.Chung minh rang:
$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}\geq 3+\frac{(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}}{(a+b+c)^{2}}$

$$\frac{2a^2}{ab+ac}+\frac{2b^2}{bc+ba}+\frac{2c^2}{ca+cb} \geq 3+\frac{(a+b+c)^2-4(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} $$
mà $$\frac{2a^2}{ab+ac}+\frac{2b^2}{bc+ba}+\frac{2c^2}{ca+cb}\geq \frac{2(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)} $$
Ta cần chứng minh:
$$ \frac{2(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ca)}\geq 3+\frac{(a+b+c)^2-4(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2} $$
$$\frac{(a+b+c)^2}{(ab+bc+ca)}+\frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geq 4$$ (đúng do bđt cosi)
Đây là lời giải của 816554 bên Mathscope

[luuvanthai]

lop nao cung dung duoc sos phuong phap kha thong dung ma

[provotinhvip]

$$\frac{(a+b+c)^2}{(ab+bc+ca)}+\frac{4(ab+bc+ca)}{(a+b+c)^2}\geq 4$$ (đúng do bđt cosi)
Đây là lời giải của 816554 bên Mathscope

Dấu = xảy ra khi nào bạn nhỉ?
Mình thấy nó hơi ....!!

[chimsebanmai]

Dấu = xảy ra khi nào bạn nhỉ?
Mình thấy nó hơi ....!!

[chimsebanmai]

$A = \sum \frac{2a}{b+c}=\sum \frac{4a^{2}}{2a(b+c)}\geqslant \frac{(2a+2b+2c)^{2}}{4(ab+bc+ca)}=\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{ab+bc+ca}+3 Cm:\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca}{ab+bc+ca}\geq \frac{\sum (a-b)^{2}}{(a+b+c)^{2}} That vay:3(ab+bc+ca)\leq (a+b+c)^{2} \rightarrow bien doi tuong duong\rightarrow dpcm$