Hình học là một công cụ để giải quyết được nhiều bài toán đại số, trong đó có bài toán bất đẳng thức. Tìm hiểu vấn đề này cho chúng ta thấy mối quan hệ giữa Hình học và Đại số trong Toán.
Hãy xuất phát từ một ví dụ đơn giản.
Ví dụ 1.(Bđt Cauchy trong trường hợp $n=2$)
Chứng minh rằng : Nếu $a,b$ là các số dương thì $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$
Chứng minh:
BĐT.JPG 6.29K 54 Số lần tải
Vẽ nửa đường tròn đường kính $AB=a+b$.
Trên $AB$ lấy điểm H thoã mãn $AH=a,HB=b$.Từ $H$ kẻ đường vuông góc với $AB$ cắt đường tròn tại $C$ thì $CH=\sqrt{AH.AB}=\sqrt{ab}$
Hiển nhiên $CH$ ko lớn hơn bán kính đường tròn nên $\sqrt{ab}=CH \le \frac{1}{2}.AB=\frac{a+b}{2}$(đpcm).Đẳng thức xảy ra khi $CH$ là bán kính hay $H$ trùng tâm đường tròn, điều này chính là $a=b$
Ví dụ 2.
Chứng minh rằng: nếu $a>c,b>c$ và $c>0$ thì $\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)} \le \sqrt{ab}.$
Chứng minh
BĐT 2.JPG 6.4K 68 Số lần tải
Trên đường thẳng $d$ lấy lần lượt các điểm $B,H,C$ sao cho $BH=\sqrt{a-c},HC=\sqrt{b-c}.$Trên đường vuông góc với BC kẻ từ $H$ sao cho $HA=\sqrt{c}$
Sử dụng định lí Py-ta-go cho các tam giác vuông $AHB,AHC$ ta có:
$AB=\sqrt{a},AC=\sqrt{b}$. Do đó
$\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}=2(S_{ABH}+S_{ACH})$
$=2S_{ABC}=AB.AC.sin A \le AB.AC=\sqrt{ab}$ (Điều phải chứng minh)
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng: nếu $0<a,b,c<1$ thì :$$a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)<1$$
Chứng minh
Vẽ tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh bằng $1$. Trên các cạnh $AB,BC,CA$ lần lượt lấy các điểm $M,N,P$ sao cho $AM=a,BN=b,CP=c$.Vì $a,b,c$ thuộc $(0;1)$
Nên ta có được diện tích tam giác $MNP$ dương.
BĐT3.JPG 9.9K 43 Số lần tải
Do đó $S_{AMP}+S_{BNM}+S_{CPN}<S_{ABC}$
$\iff \frac{1}{2}AM.Ap. sin A +\frac{1}{2}BN.BM. sin B+\frac{1}{2}CP.CN.sin C<\frac{\sqrt{3}}{4}$
$\iff a(1-c)+b(1-a)+c(1-b)<1$ (ĐPCM)
Ví dụ 4
Với mọi số dương $a,b,c,d$ ta có:
$$\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge \sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$$
Chứng minh:
Trên mặt phẳng toạ độ xét các điểm $O(0 ; 0),A(a;b),B(a+c;b+d).$
Ta có BĐT tam giác $OA+AB\ge OB.$
Vì $OA=\sqrt{a^2+b^2},AB=\sqrt{c^2+d^2},OB=\sqrt{(a+c)^2+(b+d)^2}$
Do đó ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 5.
Chứng minh rằng $a+b+c=3$ thì:
$$\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{b^2+cb+c^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}\ge 3\sqrt{3}$$
Chứng minh: Ta có
$\sqrt{a^2+ab+b^2}=\sqrt{(a+\frac{1}{2}b)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}b)^2}$
$\sqrt{b^2+cb+c^2}=\sqrt{(b+\frac{1}{2}c)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}c)^2}$
$\sqrt{a^2+ac+c^2}=\sqrt{(c+\frac{1}{2}a)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2}$
Xét các điểm $O(0;0),A(a++\frac{1}{2}b),B(a+b+b+\frac{1}{2}c;{\sqrt{3}}{2}b),C=(a+\frac{1}{2}b+b+\frac{1}{2}c+c++\frac{1}{2}a;{\sqrt{3}}{2}b+{\sqrt{3}}{2}c)$
Ta có $VT=OA+AB+BC \ge OC$
$=\sqrt{(\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{3}{2}c)^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}c+\frac{\sqrt{3}}{2}a)^2}$
$=3 \sqrt{3}=VP$ (ĐPCM.)
Sau đây em sẽ dưới thiệu các bài tập tự luyện
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huynhmylinh: 18-05-2012 - 21:19