CMR: $\frac{1}{MB}+\frac{1}{MD} =\frac{1}{NC}+\frac{1}{NE}$
#1
Đã gửi 18-06-2012 - 09:30
CMR: $\frac{1}{MB}+\frac{1}{MD} =\frac{1}{NC}+\frac{1}{NE}$
#2
Đã gửi 18-06-2012 - 18:22
Mình post cái hình trước @@Cho tam giác ABC. Gọi D, E là 2 điểm nằm trên cạnh BC sao cho $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$. Đg tròn nội tiếp các tam giác ABD, ACE tiếp xúc cới BC lần lượt tại M, N.
CMR: $\frac{1}{MB}+\frac{1}{MD} =\frac{1}{NC}+\frac{1}{NE}$
- Djnh Phan yêu thích
""i'm BEST and PROFESSION""
--N.T.Đ tự hào là thành viên VMF--
nhấp vào
#3
Đã gửi 09-04-2023 - 17:46
Câu này là IMO Shortlist 1993 lSL3
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Leonguyen: 09-04-2023 - 17:47
- perfectstrong và HaiDangPham thích
"Chỉ có cách nhìn thiển cận mới không thấy được vai trò của Toán học"
(Giáo sư Tạ Quang Bửu)
#4
Đã gửi 12-04-2023 - 01:57
Lời giải. Gọi $(I_b, r_b)$, $(I_c, r_c) $ lần lượt là đường tròn nội tiếp các tam giác ABD và ACE. $(I_b)$ tiếp xúc AD tại M' và $(I_c)$ tiếp xúc AE tại N'.
Ta có $S_{ABD}=\frac{1}{2}.AB.AD. \sin{\angle BAD}$, $S_{ACE}=\frac{1}{2}.AC.AE. \sin{\angle CAE}$. Mà $\angle BAD=\angle CAE$ nên
$\frac{S_{ABD}}{S_{ABD}}=\frac{AB.AD}{AC.AE}$ $(1)$
Theo một cách khác $S_{ABD}=\frac{1}{2}.(AB+AD+BD).r_b$ và $S_{ACE}=\frac{1}{2}.(AC+AE+EC).r_c$. Do đó
$\frac{S_{ABD}}{S_{ACE}}=\frac{AB+AD+BD}{AC+AE+EC}.\frac{r_b}{r_c}$
Cũng do $\angle BAD=\angle CAE$ nên tam giác $AI_bM'$ đồng dạng với tam giác $AI_cN'$. Suy ra
$\frac{r_b}{r_c}=\frac{AM'}{AN'}=\frac{AB+AD-BD}{AC+AE-EC}$
Do đó
$\frac{S_{ABD}}{S_{ACE}}=\frac{(AB+AD)^2-BD^2}{(AC+AE)^2-EC^2}.$ $(2)$
Từ (1) và (2), áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có
$\frac{S_{ABD}}{S_{ACE}}$
$=\frac{(AB+AD)^2-BD^2 -4.AB.AD}{(AC+AE)^2-EC^2-4.AC.AE}$
$=\frac{(AB-AD)^2-BD^2}{(AC-AE)^2-EC^2}$
$=\frac{(AB+BD-AD)(AD+BD-AB)}{(AC+EC-AE)(AE+AE-AC)}$
$=\frac{MB.MD}{NC.NE}$
Cuối cùng, theo một cách khác nữa $\frac{S_{ABD}}{S_{ACE}}=\frac{BD}{CE}$. Do đó $\frac{BD}{CE}=\frac{MB.MD}{NC.NE}$. Để ý $BD=MB+MD$ và $CE=NC+NE$ ta suy ra điều phải chứng minh.
____
Một lời giải hơi cồng kềnh ^^! Thú vị nhất chỗ dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau vì chẳng mấy khi mình dùng trong chứng minh hình học.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 12-04-2023 - 04:13
- perfectstrong và Leonguyen thích
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh