Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca = 1 chứng minh rằng :
$\frac{1}{ab} +\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \geq 3 + \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}}+1}$
$\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca} \geq 3+\sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1}+\sqrt{\frac{1}{b^{2}}+1}...$
Bắt đầu bởi hoangnhathuy, 20-06-2012 - 06:58
#1
Đã gửi 20-06-2012 - 06:58
- nhatquyetdoan yêu thích
#2
Đã gửi 20-06-2012 - 13:19
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa ab+bc+ca = 1 chứng minh rằng :
$\frac{1}{ab} +\frac{1}{bc} + \frac{1}{ca} \geq 3 + \sqrt{\frac{1}{a^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{b^{2}}+1} + \sqrt{\frac{1}{c^{2}}+1}$
Theo $AM-GM$ ta có:
\[\sqrt {\frac{1}{{{a^2}}} + 1} = \frac{{\sqrt {{a^2} + 1} }}{a} = \frac{{\sqrt {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} }}{a} \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{a + b}}{a} + \frac{{a + c}}{a}} \right) = 1 + \frac{{b + c}}{{2a}}\]
Vậy ta cần chứng minh BĐT mạnh hơn:
\[\sum {\frac{1}{{ab}}} \ge 3 + \frac{1}{2}\sum {\frac{{b + c}}{a}} \]
\[ \Leftrightarrow \sum {\frac{{c\left( {a + b} \right)}}{{ab}} \ge 3 + } \frac{1}{2}\sum {\frac{{a + b}}{c}} \]
\[ \Leftrightarrow 2\sum {{c^2}} \left( {a + b} \right) \ge 6abc + \sum {ab\left( {a + b} \right)} \]
\[ \Leftrightarrow \sum {{c^2}} \left( {a + b} \right) \ge 6abc\]
BĐT cuối hiển nhiên đúng theo $AM-GM$ nên BĐT được chứng minh.
Dấu $"="$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{{\sqrt 3 }}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoàng Quốc việt: 20-06-2012 - 13:20
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh