Chủ đề này có 2 trả lời

[Beautifulsunrise]

Cho n điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Hai điểm bất kì được nối với nhau bằng một đoạn thẳng, mỗi đoạn thẳng đc tô một màu xanh, đỏ hoặc vàng. Biết rằng không có một điểm nào mà các đoạn thẳng xuất phát từ đó có đủ cả ba màu và không có tam giác nào tạo bởi các đoạn thẳng đã nối có ba cạnh cùng màu.
a) CMR: Không tồn tại ba đoạn thẳng cùng màu xuất phát từ cùng một điểm.
b) Số điểm nhiều nhất thỏa mãn đề bài là bao nhiêu?

[duongchelsea]

Câu a:
- Với $n\leq 3$ ta có đpcm (do từ 1 đỉnh có nhiều nhất 2 đoạn thẳng).
- Với $n\geq 4$ thì ta chọn 4 điểm A, B, C, D bất kì.
+ Giả sử cả 3 đoạn AB, AC, AD đều có cùng một màu (giả sử là màu xanh) thì theo đề bài, BC phải có màu khác màu xanh (giả sử là màu đỏ).
+ Theo yêu cầu khác, từ 1 điểm ko có các đoạn thẳng có đủ 3 màu nên BD phải có màu khác màu vàng.
+ Nếu BD có màu xanh thì $\Delta ABC$ có cả 3 cạnh cùng màu xanh (loại) nên BD có màu đỏ.
Khi đó, theo yêu cầu của đề bài là ko có tam giác nào có 3 cạnh cùng màu, thì CD phải là màu vàng.
Như vậy, từ điểm D có các đoạn thẳng có cả 3 màu (trái yêu cầu đề bài)
$\Rightarrow$ Vô lý $\Rightarrow$ Đpcm

[duongchelsea]

Câu b:
Từ 1 điểm bất kì trong n điểm, các đoạn thẳng xuất phát từ nó có thể có nhiều nhất 2 màu (yêu cầu đề bài) và mỗi màu có nhiều nhất 2 đoạn thẳng (chứng minh câu a). Vì vậy từ 1 điểm bất kỳ có nhiều nhất 4 đoạn thẳng xuất phát từ nó. Như vậy số điểm nhiều nhất sẽ là $4+1=5$ (điểm).
Vậy $n_{max}=5$