Chủ đề này có 12 trả lời

[Crystal]

Bài toán. Giải hệ phương trinh: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4y + 4 = 0\\ {y^2} - 4x + 4 = 0 \end{array} \right.$

---
Rất đơn giản . Khuyến khích những lời giải đi đến cuối cùng nhé.

[davildark]

Bài toán. Giải hệ phương trinh: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4y + 4 = 0 (1) \\ {y^2} - 4x + 4 = 0 (2) \end{array} \right.$

---
Rất đơn giản . Khuyến khích những lời giải đi đến cuối cùng nhé.

Em tiên phong chém trước
Cộng 2 vế (1) và (2) ta có $ x^2-4x+4+y^2-4y+4=0$
$$\Leftrightarrow (x-2)^2+(y-2)^2=0\Rightarrow x=2=y$$
Vậy nghiệm của pt là $\boxed{\text {x=y=2}}$

[Crystal]

Còn một lời giải chúng ta thường dùng. Bạn nào gửi lên nhé. Rồi chúng ta cùng so sánh hai lời giải này.

[minhtuyb]

Bài toán. Giải hệ phương trinh: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4y + 4 = 0\ (1)\\ {y^2} - 4x + 4 = 0 \ (2)\end{array} \right.$

---
Rất đơn giản . Khuyến khích những lời giải đi đến cuối cùng nhé.

OTHER SOLUTION:
-Trừ 2 vế của phương trình $(1)$ cho phương trình $(2)$ ta có:
$$x^2-y^2-4y+4x=0\\ \Leftrightarrow (x-y)(x+y)+4(x-y)=0\\ \Leftrightarrow (x-y)(x+y+4)=0$$
*TH 1: Với $x-y=0\Leftrightarrow x=y$, thay $x$ vào phương trình $(1)$ ta có:
$$y^2-4y+4=0\Leftrightarrow (y-2)^2=0\Leftrightarrow y=2\rightarrow x=2$$
*TH 2: Với $x+y+4=0\Leftrightarrow x=-y-4$, thay $x$ vào phương trình $(1)$ ta có:
$$(y+4)^2-4y+4=0\\ \Leftrightarrow y^2+8y+16-4y+4=0\\ \Leftrightarrow y^2+4y+20=0\\ \Leftrightarrow (y+2)^2+16=0 \text{(Pt vô nghiệm)}$$
Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất $x=y=2$
---------------------
Không biết anh Thành định làm gì nhỉ

[Beautifulsunrise]

Bài toán. Giải hệ phương trinh: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4y + 4 = 0\\ {y^2} - 4x + 4 = 0 \end{array} \right.$

---
Rất đơn giản . Khuyến khích những lời giải đi đến cuối cùng nhé.

Đây là hệ hoán vị vòng quanh nên ta có thể giả sử $x \geq y$.
Khi đó: $0 = {x^2} - 4y + 4 \geq (y-2)^2 $ $\Rightarrow y = 2 \Rightarrow x = 2.$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (2; 2)

[henry0905]

Đây là hệ hoán vị vòng quanh nên ta có thể giả sử $x \geq y$.
Khi đó: $0 = {x^2} - 4y + 4 \geq (y-2)^2 $ $\Rightarrow y = 2 \Rightarrow x = 2.$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất: (2; 2)

Giả sử $x\geq y$ nhưng x,y chưa chắc >0
Nếu x>0>y thì chưa chắc ta có $x^{2}\geq y^{2}$

[tieulyly1995]

Bài toán. Giải hệ phương trinh: $\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - 4y + 4 = 0\\ {y^2} - 4x + 4 = 0 \end{array} \right.$

Ta có : $4y-4= x^{2}\geq 0\Leftrightarrow y\geq 1$
tương tự cũng có $x\geq 1$
giả sử $x\geq y$
$\Leftrightarrow 4x-4\geq 4y-4\Leftrightarrow y^{2}\geq x^{2}\Leftrightarrow y\geq x$
suy ra $x=y=2 $

[Crystal]

Cảm ơn các bạn đã tham gia. Bây giờ chúng ta hãy cũng bình luận về bài toán và những lời giải trên.

Bài toán: Dễ dàng nhận thấy hệ phương trình trên là hệ đối xứng loại II (khi thay đổi vai trò của $x,y$ thì phương trình này trở thành phương trình kia)

Phương pháp thường dùng khi gặp hệ đối xứng đó là trừ vế theo vế như cách làm của bạn minhtuyb. Đây là một cách giải truyền thống.

Lời giải.

- Với cách giải truyền thống trên, chúng ta có thể thấy hiệu quả mà nó mang lại là không nhiều. Mặc dù không sai vì đã đi đúng theo phương pháp nhưng hình thức lại không hay, phải chia trường hợp dài dòng.

- Lập luận của chú binhmetric (vì cháu nhỏ tuổi nên gọi chú, có gì không đúng mong chú bỏ qua ạ) thiếu chặt chẽ và điều đó đã được đưa ra bởi bạn henry0905.

- Lời giải của tieulyly1995 và davildark hoàn toàn chính xác. Điều đáng chú ý ở hai lời giải này đó chính là sự sáng tạo, linh hoạt trong hướng suy nghĩ và lập luận. Hai em đã thoát ra khỏi khuôn mẫu của phương pháp. Những đánh giá như thế là rất cần thiết trong việc học và làm Toán.

Lời kết: Qua bài toán này, chúng ta có thể nhận ra một số vấn đề sau:

1. Cần linh hoạt trong hướng suy nghĩ và đưa ra lời giải sáng tạo. Không nên áp dụng máy móc các phương pháp cổ điển, đôi khi những phương pháp đó tỏ ra không hiệu quả. Cần thoát ra khỏi cái cũ để đi đến cái mới.

2. Lập luận chặt chẽ hơn.

Trên đây là một số ý kiến cá nhân của Mr.3W. Mong mọi người góp ý xây dựng.

[Crystal]

Tiếp tục với bài toán sau:

Bài 2. Giải hệ phương trình: \[\begin{cases}x^4+8y=4(x^3-1)-16\sqrt{3}\\
y^4+8x=4(y^3-1)+16\sqrt{3}\end{cases}\]

[leminhansp]

Bài 2. Giải hệ phương trình: \[\begin{cases}x^4+8y=4(x^3-1)-16\sqrt{3}\\
y^4+8x=4(y^3-1)+16\sqrt{3}\end{cases}\]

Chủ đề hay quá!
Mình thử cách trâu bò trước vậy :

Hệ pt tương đương với:
$\left\{ \begin{align}
& {{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}+8y-4{{x}^{2}}+4=-16\sqrt{3} \\
& {{\left( {{y}^{2}}-2y \right)}^{2}}+8x-4{{y}^{2}}+4=16\sqrt{3} \\
\end{align} \right.$
Cộng tương ứng từng vế 2 pt của hệ ta được: (*)
${{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}+{{\left( {{y}^{2}}-2y \right)}^{2}}+8x+8y-4{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}+4+4=0$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-2x \right)}^{2}}+{{\left( {{y}^{2}}-2y \right)}^{2}}-4\left( {{x}^{2}}-2x \right)-4\left( {{y}^{2}}-2y \right)+4+4=0$
$\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-2x-2 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}^{2}}-2y-2 \right)}^{2}}=0$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}-2x-2=0 \\
& {{y}^{2}}-2y-2=0 \\
\end{align} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}
& x=1\pm \sqrt{3} \\
& y=1\pm \sqrt{3} \\
\end{align} \right.$
Thử lại được nghiệm của hệ là: $\left( 1+\sqrt{3},1-\sqrt{3} \right)$
Nhận xét:
Do bước biến đổi (*) chỉ là biến đổi hệ quả nên việc thử lại nghiệm là cần thiết (không biết có đánh giá nào giúp giảm bớt nặng nề cho bước thử lại này không nhỉ?) Và thực tế đã cho thấy nó đã loại được 3 nghiệm (k biết mình thử đúng không )

[Crystal]

Trên đây là một cách. Bạn nào có cách khác thì gửi lên nhé. Qua đó chúng ta mới có thể đưa ra đánh giá và so sánh các lời giải được.

[Albert einstein vip]

Cộng hai vế của phương trình lại ta có :
$x^{2} - 4y + 4 + y^{2} - 4x + 4 = 0$
$\Leftrightarrow \left ( x - 2 \right )^{2} + \left ( y - 2 \right )^{2} = 0$
$\Leftrightarrow x = y = 2$

[Crystal]

Cộng hai vế của phương trình lại ta có :
$x^{2} - 4y + 4 + y^{2} - 4x + 4 = 0$
$\Leftrightarrow \left ( x - 2 \right )^{2} + \left ( y - 2 \right )^{2} = 0$
$\Leftrightarrow x = y = 2$

Bạn đang giải bài toán thứ nhất đúng không? Xin thưa cách này đã được bạn davildark đưa ra ở trên.

Vui lòng đọc kĩ trước khi gửi bài nhé.