1- Các khái niệm và ký hiệu quy ước
-Cho tâp A gồm n phần tử $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ ta gọi tổ hợp chập k của n phần tử của tập A là một tập gồm k phần tử bất kỳ của A không kể thứ tự. Theo lý thuyết tổ hợp có $C_{n}^{k}$ tổ hợp như vậy
- Giờ ta đánh số thứ tự của tổ hợp chập k của n phần tử theo chỉ số j. Như vậy nếu cho j là chỉ số chạy thì j sẽ chạy từ 1 đến $C_{n}^{k}$.
- $(\sum _{i=1}^k \lambda _ix_i)_j$ là tổng của tất cả các phẩn tử của nhóm tổ hợp thứ j, trong bộ tổ hợp chập k của n phần tử $\lambda _1x_1;\lambda _2x_2; ....\lambda _nx_n$
- $(\sum _{i=1}^k \lambda _i)_j$ là tổng của tất cả các phần tử của nhóm tổ hợp thứ j, trong bộ tổ hợp chập k của n phần tử $\lambda _1;\lambda _2; ....\lambda _n$
2- Các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức Jensen
Định lý: Hàm f(x) là hàm lồi trên miền (a,b) các $x_1;x_2;...;x_n$ thuộc khoảng (a,b);
$\lambda _1,\lambda_2;...;\lambda _n > 0$ ta có một loạt các bất đẳng sau đây;
$\frac{1}{kC_{n}^{k}}\sum_{j}^{C_{n}^{k}}{(\sum _{i=1}^k \lambda _i)_jf(\frac{(\sum _{i=1}^k \lambda _ix_i)_j}{(\sum _{i=1}^k \lambda _i)_j})} \geq \frac{1}{(k+1)C_{n}^{k+1}}\sum_{j}^{C_{n}^{k+1}}{(\sum _{i=1}^{k+1} \lambda _i)_jf(\frac{(\sum _{i=1}^{k+1} \lambda _ix_i)_j}{(\sum _{i=1}^{k+1} \lambda _i)_j})}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x_1=x_2=...=x_n$
3- Các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức Chauchy
Định lý: Cho $a_1;a_2;...;a_n$ và $b_1;b_2;...;b_n$ là các số thực dương ta có bất đẳng thức sau
$\prod_{j=1}^{C_{n}^{k}}\frac{(\sum_{1}^{k}a_ib_i)_j}{(\sum_{1}^{k}b_i)_j}}^{\frac{(\sum_{1}^{k}b_i)_j}{kC_{n}^{k}}}\leq \prod_{j=1}^{C_{n}^{k+1}}{\frac{(\sum_{1}^{k+1}a_ib_i)_j}{(\sum_{1}^{k+1}b_i)_j} \}^{\frac{(\sum_{1}^{k+1}b_i)_j}{(k+1)C_{n}^{k+1}}}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=...=a_n$
3- Các bất đẳng thức kẹp giữa hai vế của bất đẳng thức Holder
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi daothanhoai: 26-07-2012 - 11:18
