ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN QUỐC GIA
CỦA MỸ NĂM 2012
**********************
Bài 1.
Tìm tất cả các dãy vô hạn các số nguyên dương ${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},...$ thỏa mãn đồng thời các tính chất sau:
i) ${{a}_{1}}<{{a}_{2}}<{{a}_{3}}<...$
ii) Không có các số nguyên dương $i,j,k$ nào, không nhất thiết phân biệt, thỏa mãn ${{a}_{i}}+{{a}_{j}}={{a}_{k}}.$
iii) Tồn tại vô hạn các số nguyên dương $k$ sao cho ${{a}_{k}}=2k-1.$
Bài 2.
Cho tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC=BD$ và chúng cắt nhau tại $P.$ Gọi ${{\omega }_{1}}$ và ${{O}_{1}}$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ và tâm tương ứng của nó; gọi ${{\omega }_{2}}$ và ${{O}_{2}}$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác $CDP$ và tâm tương ứng của nó. Đoạn $BC$ cắt ${{\omega }_{1}},{{\omega }_{2}}$ lần lượt tại $S,T.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của cung SP (không chứa $B$) và cung TP (không chứa $C$).
Chứng minh rằng $MN\parallel {{O}_{1}}{{O}_{2}}$.
Bài 3.
Cho hàm số $f:{{\mathbb{N}}^{+}}\to {{\mathbb{N}}^{+}}$ thỏa mãn các điều kiện sau:
i) $f(m),f(n)$ nguyên tố cùng nhau với mọi $m,n$ nguyên tố cùng nhau.
ii) $n\le f(n)\le n+2012$ với mọi số nguyên dương $n.$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $n$ và số nguyên tố $p,$ nếu $p$ chia hết $f(n)$ thì $p$ cũng chia hết $n.$
Bài 4.
Cho tam giác $ABC$ có chân các đường vuông góc kẻ từ $A,B,C$ đến các cạnh đối diện lần lượt là ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}.$ Gọi ${{A}_{2}}$ là giao điểm của đường thẳng $BC$ và ${{B}_{1}}{{C}_{1}}$. Các điểm ${{B}_{2}},{{C}_{2}}$ xác định tương tự. Giả sử $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB.$
Chứng minh rằng các đường vuông góc kẻ từ $D$ đến $A{{A}_{2}},$ từ $E$ đến $B{{B}_{2}}$ và từ $F$ đến $C{{C}_{2}}$ đồng quy.
Bài 5.
Cho số hữu tỉ $x$. Chứng minh rằng tồn tại một dãy các số hữu tỉ ${{x}_{0}},{{x}_{1}},{{x}_{2}},...$ thỏa mãn
a) ${{x}_{0}}=x.$
b) Với mỗi $n\ge 1,$ ${{x}_{n+1}}=2{{x}_{n}}$ hoặc ${{x}_{n+1}}=2{{x}_{n}}+\frac{1}{n}$.
c) ${{x}_{n}}$ là số nguyên với một số số nguyên dương $n.$
Bài 6.
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $xyz+xy+yz+zx=x+y+z+1$.
Chứng minh rằng
$\frac{1}{3}\left( \sqrt{\frac{1+{{x}^{2}}}{1+x}}+\sqrt{\frac{1+{{y}^{2}}}{1+y}}+\sqrt{\frac{1+{{z}^{2}}}{1+z}} \right)\le {{\left( \frac{x+y+z}{3} \right)}^{5/8}}$
Hỏi dấu đẳng thức xảy ra khi nào?Bài 7.
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\Omega .$ Đường phân giác trong góc $A$ cắt cạnh $BC$ và đường tròn $\Omega $ lần lượt tại $D$ và $L$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADM$ lần lượt cắt các cạnh $AB,AC$ tại $Q$ và $P$. Gọi $N$ là trung điểm của đoạn $PQ$ và $H$ là hình chiếu của $L$ xuống $ND.$
Chứng minh rằng $ML$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HMN.$
Bài 8.
Cho số nguyên dương $n.$ Xét một bảng tam giác gồm các số nguyên không âm như sau:
- Hàng 1: ${{a}_{0,1}}$
- Hàng 2: ${{a}_{0,2}}\text{ }{{a}_{1,2}}$
- Hàng 3: ${{a}_{0,3}}\text{ }{{a}_{1,3}}\text{ }{{a}_{2,3}}$
- …
- Hàng $n:$ ${{a}_{0,n}}\text{ }{{a}_{1,n}}\text{ }{{a}_{2,n}}\text{ }...\text{ }{{a}_{n-1,n}}$
${{a}_{i,j}}+{{a}_{j,k}}\le {{a}_{i,k}}\le {{a}_{i,j}}+{{a}_{j,k}}+1$.
Với một dãy các số nguyên không âm và không giảm ${{s}_{1}},{{s}_{2}},{{s}_{3}},...,{{s}_{n}},$ chứng minh rằng tồn tại duy nhất một bảng tam giác ổn định xác định như trên sao cho tổng tất cả các phần tử trên dòng thứ $k$ bằng ${{s}_{k}}$ với $1\le k\le n.$Bài 9.
Xét tập hợp $S$ gồm $n$ biến, một toán tử hai ngôi $\times $ trên tập $S$ được gọi là “đơn giản” nếu như $(x\times y)\times z=x\times (y\times z)$ với mọi $x,y,z\in S$ và $x\times y\in \left\{ x,y \right\}$ với mọi $x,y\in S$.
Xét một toán tử “đơn giản” trên tập $S,$ rõ ràng với mọi xâu là một dãy các phần tử thuộc $S$, bằng cách áp dụng các toán tử trên theo một thứ tự nhất định, đều có thể được rút gọn thành một phần tử duy nhất, chẳng hạn $xyz\to x\times (y\times z)$. Mỗi xâu được gọi là “đầy đủ” nếu như nó chứa mỗi phần tử của tập $S$ ít nhất một lần, hai xâu được gọi là “tương đương” nếu như với mọi cách chọn các toán tử “đơn giản” thì đều cho ra cùng một kết quả, chẳng hạn $"từ cấm",xx,x$ là các xâu tương đương. Gọi $T$ là tập hợp các xâu mà bất cứ xâu đầy đủ nào cũng tương đương với đúng một phần tử của tập $T.$
Xác định số phần tử của tập hợp $T.$
*****Hết*****
Theo MathScope.org
File gửi kèm
-
De Thi USA TST 2012.pdf 200.08K
200 Số lần tải
