Chủ đề này có 1 trả lời

[Ispectorgadget]

$\fbox{Problem}$ Giải phương trình nghiệm nguyên dương \[\LARGE{{x^{{x^{{x^x}}}}} = (19 - {y^x}){y^{{x^y}}} - 74}\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 01-08-2012 - 12:24

[nguyenta98]

$\fbox{Problem}$ Giải phương trình nghiệm nguyên dương \[\LARGE{{x^{{x^{{x^x}}}}} = (19 - {y^x}){y^{{x^y}}} - 74}\]

Giải như sau:
Vì $x,y$ nguyên dương suy ra $x^{x^{x^x}}+74>0 \Rightarrow 19-y^x>0 \Rightarrow 19>y^x$
TH1: $x=1 \Rightarrow 75=(19-y)y$ đến đây suy ra vô nghiệm
TH2: $x=2$ suy ra $2^{2^{2^2}}+74=(19-y^2)y^{2^y}$
Suy ra $(19-y^2)y^{2^y}$ chẵn nhưng thấy $2^{2^{2^2}}+74 \equiv 2 \pmod{4}$ suy ra $y$ không thể chẵn vì nếu $y$ chẵn thì $y^{2^y}$ chia hết cho $4$ vô lý do đó $19-y^2 \equiv 2 \pmod{4} \Rightarrow y^2=1,9$ nên $y=1,3$
Nếu $y=1$ suy ra $VT>VP$ vô lý
Nếu $y=3$ suy ra chọn nên $(x,y)=(2,3)$
TH3: $x=3$
Nhưng $3^{3^{3^3}}+74$ lẻ nên $(19-y^x)y^{x^y}$ lẻ vô lý vì nó luôn chẵn
TH4: $x=4 \Rightarrow 19>y^4 \Rightarrow y\le 2$
Nếu $y=2 \Rightarrow 4^{4^{4^4}}+74=(19-2^4)2^{4^2}$ suy ra vô lý do $VT \equiv 2 \pmod{4}$ còn $VP \equiv 0 \pmod{4}$
TH5: $x\geq 5 \Rightarrow 19>y^x\geq y^5 \Rightarrow y=1$
Suy ra $x^{x^{x^x}}+74=18$ suy ra vô lý
Vậy $\boxed{(x,y)=(2,3)}$