Chứng minh tổng bình phương các cạnh trong hình bình bình hành ABCD bằng tổng bình phương hai đường chéo.
#1
Đã gửi 11-09-2012 - 22:28
Tổng quát: Nếu ABCD là tứ giác lồi thì hệ thức trên trở thành như thế nào?
- nthoangcute, Beautifulsunrise, NTrangB177 và 1 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 12-09-2012 - 15:51
Theo định lý hàm $\cos$ cho $\triangle ABC$, ta có:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB.BC.\cos B$
Tương tự, áp dụng vào tam giác $BCD$.
$BD^2 =CD^2 + BC^2 - 2BC.CD.\cos D$
Vậy $AC^2 + BD^2 = AB^2 + BC^2 + CD^2 + BC^2 - 2AB.BC.\cos B - 2BC.CD.\cos D$
Mà $AB=CD,BC=AD$ nên ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 16-09-2012 - 00:04
- WhjteShadow, Beautifulsunrise, lastnight huhuhu và 3 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 15-09-2012 - 17:52
Áp dụng định lý cosin trong các tam giác $ABC$ và $BCD$ ta có
$AC^2=AB^2+BC^2-2.AB.BC.\cos{B}$
$BD^2=BC^2+CD^2-2.BC.CD.\cos{C}$
Cộng vế với vế của hai phương trình ta được
$AC^2+BD^2= AB^2+BC^2-2.AB.BC.\cos{B}+BC^2+CD^2-2.BC.CD.\cos{C}$
Chúng ta cần lưu ý trong hình bình hành có các tính chất sau: $AB = CD$, $AD = BC$, $\angle{B}+\angle{D}=180^{\circ}\Rightarrow \cos{B}= -\cos{D}$
Chúng ta dễ dàng có điều phải chứng minh
Ngoài ra đối với bài toán này chúng ta co thể sử dụng phương pháp vécto, sẽ giúp ích rất nhiều cho các em học sinh lớp 10 về phép toán cộng vecto, tích vô hướng và bình phương của một véc tơ
Nếu bạn nào yêu càu bài viết tới mình sẽ trình bày cách giải này!
Thân ái!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HAIBARA AI loves ZHAOYUN: 15-09-2012 - 20:33
- MIM, BlackSelena và nthoangcute thích
#4
Đã gửi 15-09-2012 - 23:52
Cám ơn thầy về nhận xét này, từ đó em đã tìm được 2 cách mới:Ngoài ra đối với bài toán này chúng ta co thể sử dụng phương pháp vécto, sẽ giúp ích rất nhiều cho các em học sinh lớp 10 về phép toán cộng vecto, tích vô hướng và bình phương của một véc tơ
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo hình bình hành
Cách 1: Theo định lý về đường trung tuyến trong tam giác ta có:
$AO^2=\frac{AD^2+AB^2}{2}-\frac{BD^2}{4}$
Hay $\frac{AC^2}{4}=\frac{AD^2+AB^2}{2}-\frac{BD^2}{4}$
Suy ra $AC^2+BD^2=2AD^2+2AB^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$
Cách 2: Ta thấy:
$2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$
Suy ra $AC^2=4AO^2=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})^2=AD^2+AB^2+2\overrightarrow{AD}\overrightarrow{AB}=AB^2+AB^2+(AD^2+AB^2-BD^2)=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-BD^2$
Suy ra $AC^2+BD^2=2AD^2+2AB^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$
- giapvansu và thinhrost1 thích
BÙI THẾ VIỆT - Chuyên gia Thủ Thuật CASIO
• Facebook : facebook.com/viet.alexander.7
• Youtube : youtube.com/nthoangcute
• Gmail : [email protected]
• SÐT : 0965734893
#5
Đã gửi 26-09-2012 - 18:00
Hãy cứ cố gắng suy nghĩ để tìm các cách giải khác nhau cho mỗi bài toán nhé, m tin bạn sẽ học tốt. Chúc thành công!Cám ơn thầy về nhận xét này, từ đó em đã tìm được 2 cách mới:
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo hình bình hành
Cách 1: Theo định lý về đường trung tuyến trong tam giác ta có:
$AO^2=\frac{AD^2+AB^2}{2}-\frac{BD^2}{4}$
Hay $\frac{AC^2}{4}=\frac{AD^2+AB^2}{2}-\frac{BD^2}{4}$
Suy ra $AC^2+BD^2=2AD^2+2AB^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$
Cách 2: Ta thấy:
$2\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}$
Suy ra $AC^2=4AO^2=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB})^2=AD^2+AB^2+2\overrightarrow{AD}\overrightarrow{AB}=AB^2+AB^2+(AD^2+AB^2-BD^2)=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2-BD^2$
Suy ra $AC^2+BD^2=2AD^2+2AB^2=AB^2+BC^2+CD^2+DA^2$
- L Lawliet, BlackSelena, nthoangcute và 1 người khác yêu thích
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh