Chủ đề này có 12 trả lời

[huou202]

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012 - 2013

MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1.
a) Giải phương trình: $3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}$.
b) Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} x^3+xy^2+2y^3=0\\ \sqrt[3]{x^4-x^2}+4=4y^2+3y\end{cases}$$.
Bài 2.
a)Cho hàm số $y = \frac{2x}{x+2}$ có đồ thị $(C)$. Tìm hai điểm $A, B$ trên $(C)$ sao cho các tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất.
b) Tìm tất cả các giá trị tham số m để pt sau có 3 nghiệm phân biệt:
$$x+\sqrt{4-x^2}= m +x. \sqrt{4-x^2}$$.
Bài 3.
Xác định các góc của tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện:
$$ cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A-C}{2}=\frac{3}{2}+sin\frac{3A}{2}$$.
Bài 4.
Cho hình chóp $S.ABC$ có các mặt phẳng (SBC)và (ABC) vuông góc với nhau, các cạnh $AB=AC=SA=SB=a$. Tìm độ dài cạnh $SC$ sao cho khối $S.ABC$ có thể tích $V = \frac{a^3}{8}$.
Bài 5.
Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3abc$
Tìm giá trị lớn nhất của:
$$ P = \sqrt{\frac{a}{8a^2+1}}+\sqrt{\frac{b}{8b^2+1}}+ \sqrt{\frac{c}{8c^2+1}}$$.

[N H Tu prince]

Bài 1.
a) Giải phương trình: $3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}$.

$PT<=>3\sqrt{x-2}-\sqrt{x+6}=2(x-3)<=>\frac{8x-24}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}-2(x-3)=0<=>(x-3)(\frac{8}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}-2)=0$
1)$x-3=0<=>x=3$
2)$\frac{8}{3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}}-2=0<=>3\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=4<=>6\sqrt{(x-2)(x+6)}=28-11x<=>36(x^2+4x-12)=(28-11x)^2<=>...$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 06-12-2012 - 21:15

[kimthoa]

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 HÀ TĨNH NĂM HỌC 2012 - 2013

MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút

Bài 1.
b) Giải hệ phương trình: $$\begin{cases} x^3+xy^2+2y^3=0\\ \sqrt[3]{x^4-x^2}+4=4y^2+3y\end{cases}$$.

pt(1) <=>$(x+y)(x^{2}-xy+2)=0$<=>x=-y (vi $(x^{2}-xy+2)>0$ )
thay y=-x vao pt(2)
dat $\sqrt[3]{x}=u;\sqrt[3]{x^{2}-1}=v$
pt(2)<=>$u^{2}v=4v^{3}-3u^{3}$
dua ve pt tich, den day cac ban tu lam nhe

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimthoa: 06-12-2012 - 22:27

[N H Tu prince]

Bài 5.
Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3abc$
Tìm giá trị lớn nhất của:
$$ P = \sqrt{\frac{a}{8a^2+1}}+\sqrt{\frac{b}{8b^2+1}}+ \sqrt{\frac{c}{8c^2+1}}$$.

$P^2\leq 3(\frac{a}{8a^2+1}+\frac{b}{8b^2+1}+\frac{c}{8c^2+1})$
Theo AM-GM thì $8a^2+1\geq 9\sqrt[9]{a^{16}}=>\frac{a}{8a^2+1}\leq \frac{a}{9\sqrt[9]{a^{16}}}=\frac{1}{9\sqrt[9]{a^7}}$
Tiếp tục áp dụng AM-GM thì $\frac{1}{9}(\frac{1}{\sqrt[9]{a^7}}.1.1)\leq \frac{1}{9}[(\frac{7}{a}+2):9]=\frac{1}{81}(\frac{7}{a}+2)$
Xây dựng các BDT tương tự suy ra
$\frac{a}{8a^2+1}+\frac{b}{8b^2+}+\frac{c}{8c^2+1}\leq \frac{7}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{6}{81}(1)$
$=\frac{7}{81}\frac{ab+bc+ca}{abc}+\frac{6}{81}\leq \frac{7}{81}\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}+\frac{6}{81}=\frac{1}{3}$
$=>P^2\leq 3.\frac{1}{3}=1=>P\leq 1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangngocbao1997: 06-12-2012 - 22:31

[kimthoa]

Bài 3.
Xác định các góc của tam giác $ABC$ thỏa mãn điều kiện:
$$ cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A-C}{2}=\frac{3}{2}+sin\frac{3A}{2}$$.

<=> cos$\frac{2A-B-C}{4}$$cos\frac{B-C}{4} -sin\frac{3A}{2}=\frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow 2.cos\frac{3A-\pi }{4}.cos\frac{B-C}{4}-sin\frac{3A}{2}$=$\frac{3}{2}$
Ta có :
VT$\leq 2.cos\frac{3A-\pi }{4}-sin\frac{3A}{2}$
đặt $\frac{3A-\pi }{4}=t\Rightarrow \frac{3A}{2}= 2.t+\frac{\pi }{2}$
t $\epsilon \left ( 0 ;\right\frac{\pi }{2} )$
=>VT$\leq 2cost-sin(2t+\frac{\pi }{2})= 2cost-cos2t=-2cos^{2}t+cost+1$
đến đây lập bảng bt ...........

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kimthoa: 06-12-2012 - 23:33

[caovannct]

$P^2\leq 3(\frac{a}{8a^2+1}+\frac{b}{8b^2+1}+\frac{c}{8c^2+1})$
Theo AM-GM thì $8a^2+1\geq 9\sqrt[9]{a^{16}}=>\frac{a}{8a^2+1}\leq \frac{a}{9\sqrt[9]{a^{16}}}=\frac{1}{9\sqrt[9]{a^7}}$
Tiếp tục áp dụng AM-GM thì $\frac{1}{9}(\frac{1}{\sqrt[9]{a^7}}.1.1)\leq \frac{1}{9}[(\frac{7}{a}+2):9]=\frac{1}{81}(\frac{7}{a}+2)$
Xây dựng các BDT tương tự suy ra
$\frac{a}{8a^2+1}+\frac{b}{8b^2+}+\frac{c}{8c^2+1}\leq \frac{7}{81}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})+\frac{6}{81}(1)$
$=\frac{7}{81}\frac{ab+bc+ca}{abc}+\frac{6}{81}\leq \frac{7}{81}\frac{a^2+b^2+c^2}{abc}+\frac{6}{81}=\frac{1}{3}$
$=>P^2\leq 3.\frac{1}{3}=1=>P\leq 1$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$

Bài này ta cũng có thể giải như sau:"
Theo AM - GM thì P$\leq$$\sqrt{\frac{1}{7a^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7b^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7c^2+2}}$.
Lại theo CBS ta có $P^2\leq $\frac{3}{81}$(\frac{1}{7a^2+2}+\frac{1}{7b^2+2}+\frac{1}{7c^2+2})\leq 3(\frac{7}{a^2}+\frac{7}{b^2}+\frac{7}{c^2}+6)$.
Bây giờ ta đi chứng minh $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\leq 1$.
Thật vậy:$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{a^2b^2c^2}=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{(\frac{a^2+b^2+c^2}{3})^2}\leq 1$.
Vậy $P^2\leq 1$ hay GTLN của P là 1 đạt được khi a=b=c=1

[kimthoa]

Theo AM - GM thì P$\leq$$\sqrt{\frac{1}{7a^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7b^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7c^2+2}}$.
nhờ bạn nói rõ mình chỗ này cái

[caovannct]

Theo AM - GM thì P$\leq$$\sqrt{\frac{1}{7a^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7b^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7c^2+2}}$.
nhờ bạn nói rõ mình chỗ này cái

Theo AM - GM thì

Theo AM - GM thì P$\leq$$\sqrt{\frac{1}{7a^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7b^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7c^2+2}}$.
nhờ bạn nói rõ mình chỗ này cái

Theo AM - GM thì P$\leq$$\sqrt{\frac{1}{7a^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7b^2+2}}+\sqrt{\frac{1}{7c^2+2}}$.
nhờ bạn nói rõ mình chỗ này cái

Chõ này mình nhẩm nhầm: Theo AM -GM thì $\frac{a}{8a^2+1}\leq \frac{1}{7a+2}\leq \frac{7}{a}+2$.
Đến đay đánh giá tương tự như trên ta có được lời giải.
Ok??? thanks

[duongtoi]

Bài 2:
a) Ta có $y=2-\frac{4}{x+2}\Rightarrow y'=\frac{4}{(x+2)^2}$.
Gọi $A(x_1;2-\frac{4}{x_1+2})$ thuộc $C$. Khi đó, $B(-x_1-4;2+\frac{4}{x_1+2})$.
Ta có, $AB^2=4(x_1+2)^2+\frac{64}{(x_1+2)^2}\ge 32$. Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi $x_1=2$ hoặc $x_1=-6$.
Mặt khác, ta có $h$ là khoảng cách giữa hai tiếp tuyến. Khi đó, $h^2\le AB^2$.
Do vậy, khoảng cách lớn nhất giữa hai tiêp tuyến là $h=4\sqrt2$. Khi đó, hai điểm $A$ và $B$ là $A(2;1);B(-6;3)$

[duongtoi]

Bài 2:
b) Đặt $u=x;v=\sqrt{4-x^2}$. Điều kiện $-2\le u\le2;0\le v\le 2$.
Khi đó, ta được hệ $\begin{cases}u+v=m+uv\\ u^2+v^2=4 \end{cases}$
Suy ra, ta được phương trình $(u+v)^2-2[(u+v)-m]-4=0\Leftrightarrow (u+v)^2-2(u+v)+2m-4=0$
Ta có $\Delta'=5-2m$.
Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi $m\le \frac{5}{2}$. Khi đó, $u+v=1\pm\sqrt{5-2m};uv=1-m\pm\sqrt{5-2m}$.
Trong đó, $u,v$ là nghiệm của phương trình $t^2-(1\pm \sqrt{5-2m})t+(1-m\pm\sqrt{5-2m})=0$
Sau đó xét các TH xảy ra.

[thukilop]

Bài 1: (cách khác)
a) $3(2+\sqrt{x-2})=2x+\sqrt{x+6}$
ĐK: $x\geq 2$
-Đặt $\sqrt{x-2}=a$ => $x=a^{2}+2$
$\sqrt{x+6}=b$
-PT đã cho tương đương:
$3(2+a)$=$2(a^{2}+2)+b$
<=> $2a^{2}+b-3a=2$ (1)
-Lại có: $b^{2}-a^{2}=8$ (2)
-Từ (1) và (2)
=> $\left\{\begin{matrix}
2a^{2}+b-3a=2 & \\
b^{2}-a^{2}=8&
\end{matrix}\right.$
<=> $8a^{2}+4b-12=b^{2}-a^{2}$
<=> $(b-3a)(b+3a-4)=0$
................
KL: pt đã cho có 2 nghiệm: x=3 và $x= \frac{11-3\sqrt{5}}{2}$

[tuanprovu]

Theo AM - GM thì Chõ này mình nhẩm nhầm: Theo AM -GM thì $\frac{a}{8a^2+1}\leq \frac{1}{7a+2}\leq \frac{7}{a}+2$.
Đến đay đánh giá tương tự như trên ta có được lời giải.
Ok??? thanks

thiếu 1/9 rùi bạn à

[tuanprovu]

<= 1/81(7/a+2)