Xác định số chiều và cơ sở trong không gian vector
#1
Đã gửi 25-12-2012 - 09:50
+Xác định số chiều và một cơ sở của không gian con $R^{4}$ sinh bởi các vecto sau:
(1,1,-4,-3), (2,0,2,-2), (2,-1,3,2)
-Mọi người vui lòng hướng dẫn cách trình bày dùm mình nha, mình cần nhất là cách làm về "xác đình số chiều và cơ sở", mình đang cần rất gấp vì sắp thi rồi , mong các bạn giúp đỡ, cám ơn rất nhiều!!!
- BIGBOSSS yêu thích
#2
Đã gửi 26-12-2012 - 00:35
ta có A = $\begin{pmatrix} 1 & 1& -4&-3\\ 2 & 0& 2&-2\\ 2& -1& 3&2 \end{pmatrix}$ ..........$\begin{pmatrix} 1 & 1& -4&-3\\ 0 & -2& 10&4\\ 0& 0& -8&4 \end{pmatrix}$
=> rank(A) = 3 => số chiều = 3.. và cơ sở của hệ véc to đó là 3 vecto đó luôn
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangcuong12a3: 26-12-2012 - 00:49
- vo van duc và BIGBOSSS thích
#3
Đã gửi 26-12-2012 - 10:16
Bài toán cơ bản:
Trong không gian $\mathbb{R}^{n}$, xác định một cơ sở và số chiều của không gian véc tơ $U=Sp(v_{1},v_{2},..,v_{m})$
Cách giải:
Bước 1: Lập ma trận $A=\begin{pmatrix} v_{1}\\ v_{2}\\ ...\\ v_{m} \end{pmatrix}$
Bước 2: Biến đổi sơ cấp hàng đưa ma trận A về ma trận bậc thang có r hàng khác không.
Bước 3: Kết luận
- Số chiều của U là r
- Một cơ sở của U là r hàng khác không trong ma trận bậc thang hay r véc tơ tương ứng trong $\left \{ v_{1},v_{2},..,v_{m} \right \}$
............................................................................
Bài toán tổng quát hơn là:
Trong không gian véc tơ V, xác định một cơ sở và số chiều của không gian véc tơ $W=Sp(u_{1},u_{2},..,u_{m})$
Cách giải:
Vì mọi không gian véc tơ hữu hạn chiều (có số chiều bằng n) đều đẳng cấu với $R^{n}$ nên ta sẽ chuyển việc xét trong không gian V về xét trong không gian $R^{n}$ tương ứng.
+ Để xét $P_{n}[x]=\left \{ a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,n} \right \}$ ta xét trong $\mathbb{R}^{n+1}=\left \{ (a_{0},a_{1},...,a_{n}):a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,n} \right \}$
+ Để xét $M_{2}(\mathbb{R})=\left \{ \bigl(\begin{smallmatrix} a & b\\ c & d \end{smallmatrix}\bigr):a,b,c,d\in \mathbb{R} \right \}$ ta xét trong $\mathbb{R}^{4}=\left \{ (a,b,c,d):a,b,c,d\in \mathbb{R} \right \}$
Vậy: Trong không gian V để tìm một cơ sở và số chiều của $W=Sp(u_{1},u_{2},..,u_{m})$ ta chuyển sang tìm một cơ sở và số chiều của $U=Sp(v_{1},v_{2},..,v_{m})$ tương ứng trong $\mathbb{R}^{n}$. Tức là chuyển về bài toán cơ bản ở trên
Ví dụ 1:
Trong $P_{2}[x]=\left \{ a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}:a_{i}\in \mathbb{R}, i=\overline{0,2} \right \}$, xác định một cơ sở và số chiều của
$W=Sp(u_{1}=1+3x+2x^{2},u_{2}=2+6x+4x^{2},u_{3}=x+3x^{2})$
Giải:
Xét ma trận:
$A=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 2 & 6 & 4\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
Suy ra một cơ sở của W là: $\left \{ 1+3x+2x^{2},x+3x^{2} \right \}$
Và $dimW=2$
Ví dụ 2:
Trong $M_{2}(\mathbb{R})$, xác định một có sở và số chiều của không gian W sinh bởi hệ véc tơ
$\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$
Giải:
Ta có:
$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -1 & -2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -4 & -5 \end{pmatrix}$
Suy ra một cơ sở của W là: $\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$
Và $dimW=3$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-11-2016 - 16:09
- Zaraki, 25 minutes và HulkGreen thích
#4
Đã gửi 20-01-2016 - 15:41
Anh Đức nói rõ giùm em VD2 với sao viết được ma trận A như thế hả anh.
#5
Đã gửi 20-01-2016 - 18:23
Ví dụ 2:
Trong $M_{2}(\mathbb{R})$, xác định một có sở và số chiều của không gian W sinh bởi hệ véc tơ
$\left \{ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 2 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \right \}$
Giải:
$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0 & 0\\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & -3 & -1 & -2 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1 & -1\\ 0 & 0 & -4 & -5 \end{pmatrix}$
Và $dimW=3$
Anh Đức nói rõ giùm em VD2 với sao viết được ma trận A như thế hả anh.
$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0 & 1\\ 2 & -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$
Đời người là một hành trình...
#6
Đã gửi 20-01-2016 - 19:33
Mà nếu nó cho hệ phương trình và tìm cơ sở không gian nghiệm cũng là như thế hả anh. Nếu làm hệ thì dùng ma trận bổ sung hay ma trận thường thui ạ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HulkGreen: 20-01-2016 - 19:44
#7
Đã gửi 23-01-2016 - 21:59
Mà nếu nó cho hệ phương trình và tìm cơ sở không gian nghiệm cũng là như thế hả anh. Nếu làm hệ thì dùng ma trận bổ sung hay ma trận thường thui ạ.
Dùng ma trận hệ số là đủ rồi! Vì bất kỳ biến đổi sơ cấp trên dòng thì kết quả trên ma trận hệ số và ma trận bổ sung chỉ sai khác 1 cột không.
Đời người là một hành trình...
#8
Đã gửi 20-04-2017 - 10:40
Số chiều của hệ vecto là số vecto độc lập tuyến tính lấy ra được từ hệ vecto đó và nó = hạng của ma trận A là ma trận có các cột ( hàng) là tọa độ lần lượt của các vecto..
ta có A = $\begin{pmatrix} 1 & 1& -4&-3\\ 2 & 0& 2&-2\\ 2& -1& 3&2 \end{pmatrix}$ ..........$\begin{pmatrix} 1 & 1& -4&-3\\ 0 & -2& 10&4\\ 0& 0& -8&4 \end{pmatrix}$
=> rank(A) = 3 => số chiều = 3.. và cơ sở của hệ véc to đó là 3 vecto đó luôn
#9
Đã gửi 27-06-2017 - 17:46
Gọi P2(x) là không gian các đa thức có bậc không quá 2 và hệ số thực .
Cho tập hợp W =(u = a+bx+cx2 thuộc P2(x) :3a-4b+2c=0)
a) cm W là một không gian con của không gian P2(x)
b) tìm một cơ sở và số chiều của W
#10
Đã gửi 27-06-2017 - 17:48
Gọi P2(x) là không gian các đa thức có bậc không quá 2 và hệ số thực .
Cho tập hợp W =(u = a+bx+cx2 thuộc P2(x) :3a-4b+2c=0)
a) cm W là một không gian con của không gian P2(x)
b) tìm một cơ sở và số chiều của W
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh