Dù hơi bị bận rộn một chút nhưng tôi cũng cố gắng giải thích giúp bạn một số ý chính.
.......................................................
1) Tích phân dường loại 1 trong mặt phẳng.
$I=\int_{L}f(x,y)ds$
- Nếu $L:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ t\in \left [ a,b \right ] \end{matrix}\right.$ thì $I=\int_{a}^{b}f\left ( x(t),y(t) \right ).\sqrt{(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}dt$
- Nếu $L:\left\{\begin{matrix} y=y(x)\\ x\in \left [ a,b \right ] \end{matrix}\right.$ thì $I=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+\left ( y'(x) \right )^{2}}dx$
- Nếu $L:\left\{\begin{matrix} x=x(y)\\ y\in \left [ a,b \right ] \end{matrix}\right.$ thì $I=\int_{a}^{b}f(x(y),y)\sqrt{\left ( x'(y) \right )^{2}+1}dx$
Ví dụ 1:
$I_1=\int _{AB}(x-y)ds$ với AB là đoạn thănngr nối 2 điểm A(0,0) và B(4,3).
Giải:
Ta biết rằng $f(x,y)=x-y$ và L là đoạn thẳng AB.
Như tóm tắc lý thuyết đã nêu trên thì ta cần biết dạng biểu diễn (phương trình biểu diễn) của đoạn thẳng AB. Như trên thì ta có 3 cách biểu diễn của đoạn AB. Và ở đây tôi cũng xin làm theo cả ba cách để bạn có thể nắm bắt tốt nó.
Cách 1: Ta biểu diễn doạn AB theo phương trình tham số.
Ta có:
$AB:\left\{\begin{matrix} x=4t\\ y=3t\\ t\in \left [ 0,1 \right ] \end{matrix}\right.$
Khi đó
$I_1=\int_{0}^{1}\left [ (4t)-(3t) \right ]\sqrt{4^2+3^2}dt=5\int_{0}^{1}tdt=\frac{5}{2}$
.............................................
Phương trình tham số của doạn AB ta lấy ở đâu ra? Xin thưa rằng nó nằm trong chương trình lớp 10. Nhưng ở đây tôi cũng xin nhắc lại một số kết quả để chúng ta tiện sử dụng.
- Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm $A(x_A,y_A)$ và $B(x_B,y_B)$.
Khi đó phương trình tham số đoạn AB là: $\left\{\begin{matrix} x=x_A+(x_B-x_A).t\\ y=y_A+(y_B-y_A).t\\ t\in \left [ 0,1 \right ] \end{matrix}\right.$
- Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn $\left ( C \right )$ có phương trình $(x-a)^2+(y-b)^2=R$.
Khi đó phương trình tham số của $\left ( C \right )$ là: $\left\{\begin{matrix} x=a+R\cos t\\ y=b+R\sin t\\ t\in \left [ 0,2\pi \right ] \end{matrix}\right.$
.........................................................
Cách 2:
Ta có phương trình đường thẳng AB là $3x-4y=0$. Từ đây suy ra $y=\frac{3}{4}x$.
Nhưng phương trình đoạn AB thì sao?
Đó là $AB:\left\{\begin{matrix} y=\frac{3}{4}x\\ x\in \left [ 0,4 \right ] \end{matrix}\right.$
Khi đó
$I_1=\int_{0}^{4}\left [ x-\left ( \frac{3}{4}x \right ) \right ]\sqrt{1+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}}dx=\frac{5}{32}\int_{0}^{4}xdx=\frac{5}{2}$
Cách3:
Giống như cách 2 ta cũng có $\left\{\begin{matrix} x=\frac{4}{3}y\\ y\in \left [ 0,3 \right ] \end{matrix}\right.$
Khi đó
$I_1=\int_{0}^{3}\left [ \left ( \frac{4}{3}y \right )-y \right ]\sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^{2}+1}dy=\frac{5}{9}\int_{0}^{3}ydy=\frac{5}{2}$
2) Tích phân đường loại 1 trong không gian
$I=\int_{L}f(x,y,z)ds$
Ta biểu diễn $L:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\\ t\in \left [ a,b \right ] \end{matrix}\right.$
Khi đó $I=\int_{a}^{b}f\left ( x(t),y(t),z(t) \right )\sqrt{\left ( x'(t) \right )^{2}+\left ( y'(t) \right )^{2}+\left ( z'(t) \right )^{2}}dt$
Ví dụ 2: Câu 4 của bạn.
$I_2=\int_{L}xyzds$ với $L:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^{3}}\\ z=\frac{t^{2}}{2}\\ t\in \left [ 0,1 \right ] \end{matrix}\right.$
Khi đó
$I_2=\int_{0}^{1}t.\frac{1}{3}\sqrt{8t^{3}}.\frac{t^{2}}{2}.\sqrt{1^2+\left ( \sqrt{2t} \right )^{2}+t^{2}}.dt$
$=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{1}t^{\frac{9}{2}}\sqrt{1+2t+t^2}.dt=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{1}t^{\frac{9}{2}}(1+t)dt=\frac{16\sqrt{2}}{143}$
..................................................
Hai ví dụ trên hy vọng có thể giúp bạn phần nào.
Lần sau phải tập trung nghe giảng trên lớp nha! hihi
Tối minh đăng phần tiếp. hi
