Chủ đề này có 5 trả lời

[viendanho98]

cho a,b,c la 3 so thuc duong thoa man dk

$a^2+b^2+c^2$=1

cm $\frac{a^2}{1+b-a}+\frac{b^2}{1+c-b}+\frac{c^2}{1+a-c}\geq 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viendanho98: 30-08-2013 - 14:15

[nguyentrungphuc26041999]

cho a,b,c la 3 so thuc duong thoa man dk

$a^2+b^2+c^2$=1

cm $\frac{a^2}{1+b-a}+\frac{b^2}{1+c-b}+\frac{c^2}{1+a-c}\geq 1$

ta có

bất đẳng thức tương đương với 

$\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+a^{2}b-a^{3}}\geq 1$

áp dụng bất đẳng thức Xvacs

$\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+a^{2}b-a^{3}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a-a^{3}-b^{3}-c^{3}}$

do $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

$1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a-a^{3}-b^{3}-c^{3}\leq 1$

$\Rightarrow \frac{1}{1+\sum a^{2}b-\sum a^{3}}\geq 1$(đpcm)

[viendanho98]

ta có

bất đẳng thức tương đương với 

$\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+a^{2}b-a^{3}}\geq 1$

áp dụng bất đẳng thức Xvacs

$\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+a^{2}b-a^{3}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a-a^{3}-b^{3}-c^{3}}$

do $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

$1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a-a^{3}-b^{3}-c^{3}\leq 1$

$\Rightarrow \frac{1}{1+\sum a^{2}b-\sum a^{3}}\geq 1$(đpcm)

cho nay cm the nao vay

[bangbang1412]

cho nay cm the nao vay

Theo $AM-GM$ thì $a^{3}+b^{3}+a^{3}\geq 3a^{2}.b$

Chứng minh tương tự và cộng các vế 

[bangbang1412]

ta có

bất đẳng thức tương đương với 

$\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+a^{2}b-a^{3}}\geq 1$

áp dụng bất đẳng thức Xvacs

$\sum \frac{a^{4}}{a^{2}+a^{2}b-a^{3}}\geq \frac{\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )^{2}}{1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a-a^{3}-b^{3}-c^{3}}$

do $a^{3}+b^{3}+c^{3}\geq a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$

$1+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a-a^{3}-b^{3}-c^{3}\leq 1$

$\Rightarrow \frac{1}{1+\sum a^{2}b-\sum a^{3}}\geq 1$(đpcm)

Hoàn hảo , nhưng nên chứng minh thêm là mẫu dương thì mới có điều phải cm 

[KietLW9]

cho nay cm the nao vay

$\sum_{cyc}(a^3-a^2b)=\sum_{cyc}(a^3-a^2b-\frac{1}{3}(a^3-b^3))=\frac{1}{3}\sum_{cyc}(a-b)^2(2a+b)\geqslant 0$