Đến nội dung

Hình ảnh

Một công thức ''căn phức tạp'' (căn bậc 2) (lớp 9)

* * * * * 9 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 12 trả lời

#1
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

Với những bài tập về biến đổi căn thức, chúng ta có những cách biến đổi căn thức như đưa về dạng bình phương hoặc bình phương số cần phân tích,... Bên cạnh đó cũng có một công thức cũng khá hay:

   $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ 

   $\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ 

Ví dụ 1:Tính:

$A$= $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$

Áp dụng công thức đã nói trên ta được:

$$A=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$$

    $$=\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{4+\sqrt{16-7}}{2}}+\sqrt{\frac{4-\sqrt{16-7}}{2}} & \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{4+\sqrt{16-7}}{2}}-\sqrt{\frac{4-\sqrt{16-7}}{2}} & \end{pmatrix}$$

 

Ví dụ 2: Rút gọn :

$$B=\frac{\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\begin{pmatrix} \sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3} & \end{pmatrix}}{2+\sqrt{1-x^2}}$$

Rõ ràng ở đây chúng ta áp dụng các phương pháp khác như đặt ẩn phụ, tính $B^{2}$ rồi rút gọn ,... rất khó khăn trong việc giải quyết. Nhưng khi chúng ta áp dụng phương pháp (1) và (2) sẽ tính hiệu của nó trong việc giải quyết dạng toán rút gọn căn thức::

Giải : ĐKXĐ:$-1\leq x \leq 1$

Áp dụng công thức (1), ta được:

$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{1-1+x^2}}{2}}+\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-1+x^2}}{2}}$

                                   $=\sqrt{\frac{1+\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}}{2}} +\sqrt{\frac{1-\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}}{2}}$

Đến đây ta thấy khi $x\geq 0$ và $x< 0$ đều có cùng 1 kết quả là $\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})$

$\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3}$= $(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})[(1+x)+\sqrt{1-x^2}+(1-x)]$

                                                  $= (\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(2+\sqrt{1-x^2})$

Vậy $B$=$\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(2+\sqrt{1-x^2})}{2+\sqrt{1+x^2}}$

            $=\frac{1}{\sqrt{2}}((1+x)-(1-x))$=$\sqrt{2}x$

Ví dụ 3: Chứng minh rằng :

$$A=\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\sqrt{2}+\sqrt{10}$$

Áp dụng công thức , ta được :

$$A=\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$$
  $A=\sqrt{8+\sqrt{40+8\sqrt{5}}}+\sqrt{8-\sqrt{40+8\sqrt{5}}}$

$$\bigl(\begin{smallmatrix} \sqrt{\frac{8+\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}}+\sqrt{\frac{8-\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}} & \end{smallmatrix}\bigr)+\bigl(\begin{smallmatrix} \sqrt{\frac{8+\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}}-\sqrt{\frac{8-\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}} & \end{smallmatrix}\bigr)$$

   $$=2.\sqrt{\frac{8+(2\sqrt{5}-2)}{2}}$$

   $$=\sqrt{12+4\sqrt{5}}$$

   $$=\sqrt{10}+\sqrt{2}$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 09-10-2013 - 13:09


#2
hoangtrung99

hoangtrung99

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Toàn ơi giỏi quá 



#3
Near Ryuzaki

Near Ryuzaki

    $\mathbb{NKT}$

  • Thành viên
  • 804 Bài viết

1/

$A=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$

    $\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{4+\sqrt{16-7}}{2}}+\sqrt{\frac{4-\sqrt{16-7}}{2}} & \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{4+\sqrt{16-7}}{2}}-\sqrt{\frac{4-\sqrt{16-7}}{2}} & \end{pmatrix}$

2/

$B=\frac{\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\begin{pmatrix} \sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3} & \end{pmatrix}}{2+\sqrt{1-x^2}}$

3/

$A=\sqrt{8+\sqrt{40+8\sqrt{5}}}+\sqrt{8-\sqrt{40+8\sqrt{5}}}$

$\bigl(\begin{smallmatrix} \sqrt{\frac{8+\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}}+\sqrt{\frac{8-\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}} & \end{smallmatrix}\bigr)+\bigl(\begin{smallmatrix} \sqrt{\frac{8+\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}}-\sqrt{\frac{8-\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}} & \end{smallmatrix}\bigr)$



#4
kingkn02

kingkn02

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết

 

Với những bài tập về biến đổi căn thức, chúng ta có những cách biến đổi căn thức như đưa về dạng bình phương hoặc bình phương số cần phân tích,... Bên cạnh đó cũng có một công thức cũng khá hay:

   $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ 

   $\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ 

 

Làm sao chứng minh được công thức này hả bạn???????????



#5
khanghaxuan

khanghaxuan

    Trung úy

  • Thành viên
  • 969 Bài viết

Làm sao chứng minh được công thức này hả bạn???????????

Bình phương lên  ^_^


Điều tôi muốn biết trước tiên không phải là bạn đã thất bại ra sao mà là bạn đã chấp nhận nó như thế nào .

- A.Lincoln -

#6
MyMy ZinDy

MyMy ZinDy

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 294 Bài viết

 

Với những bài tập về biến đổi căn thức, chúng ta có những cách biến đổi căn thức như đưa về dạng bình phương hoặc bình phương số cần phân tích,... Bên cạnh đó cũng có một công thức cũng khá hay:

   $\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ 

   $\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$ 

Ví dụ 1:Tính:

$A$= $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$

Áp dụng công thức đã nói trên ta được:

$$A=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$$

    $$=\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{4+\sqrt{16-7}}{2}}+\sqrt{\frac{4-\sqrt{16-7}}{2}} & \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{4+\sqrt{16-7}}{2}}-\sqrt{\frac{4-\sqrt{16-7}}{2}} & \end{pmatrix}$$

 

Ví dụ 2: Rút gọn :

$$B=\frac{\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\begin{pmatrix} \sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3} & \end{pmatrix}}{2+\sqrt{1-x^2}}$$

Rõ ràng ở đây chúng ta áp dụng các phương pháp khác như đặt ẩn phụ, tính $B^{2}$ rồi rút gọn ,... rất khó khăn trong việc giải quyết. Nhưng khi chúng ta áp dụng phương pháp (1) và (2) sẽ tính hiệu của nó trong việc giải quyết dạng toán rút gọn căn thức::

Giải : ĐKXĐ:$-1\leq x \leq 1$

Áp dụng công thức (1), ta được:

$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{1-1+x^2}}{2}}+\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-1+x^2}}{2}}$

                                   $=\sqrt{\frac{1+\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}}{2}} +\sqrt{\frac{1-\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}}{2}}$

Đến đây ta thấy khi $x\geq 0$ và $x< 0$ đều có cùng 1 kết quả là $\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})$

$\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3}$= $(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})[(1+x)+\sqrt{1-x^2}+(1-x)]$

                                                  $= (\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(2+\sqrt{1-x^2})$

Vậy $B$=$\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(2+\sqrt{1-x^2})}{2+\sqrt{1+x^2}}$

            $=\frac{1}{\sqrt{2}}((1+x)-(1-x))$=$\sqrt{2}x$

Ví dụ 3: Chứng minh rằng :

$$A=\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\sqrt{2}+\sqrt{10}$$

Áp dụng công thức , ta được :

$$A=\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$$
  $A=\sqrt{8+\sqrt{40+8\sqrt{5}}}+\sqrt{8-\sqrt{40+8\sqrt{5}}}$

$$\bigl(\begin{smallmatrix} \sqrt{\frac{8+\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}}+\sqrt{\frac{8-\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}} & \end{smallmatrix}\bigr)+\bigl(\begin{smallmatrix} \sqrt{\frac{8+\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}}-\sqrt{\frac{8-\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}} & \end{smallmatrix}\bigr)$$

   $$=2.\sqrt{\frac{8+(2\sqrt{5}-2)}{2}}$$

   $$=\sqrt{12+4\sqrt{5}}$$

   $$=\sqrt{10}+\sqrt{2}$$

 

Cho em hỏi là khi làm bài tập phải chứng minh hay là được áp dụng luôn ạ?



#7
ThinhSenpai

ThinhSenpai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết

giúp mình với biến đổi : 1. $\sqrt{10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}}$ 

                                     2. $\sqrt{8+\sqrt{8}+\sqrt{20}+\sqrt{40}}$

cảm ơn nhiều


Naruto_Rasengan.gif Trong toán học, nghệ thuật nêu vấn đề có giá trị hơn giải quyết nó.

                                                                                                                                                               Georg Cantor.


#8
CaptainCuong

CaptainCuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 212 Bài viết

giúp mình với biến đổi : 1. $\sqrt{10+2\sqrt{6}+2\sqrt{10}+2\sqrt{15}}$ 

                                     2. $\sqrt{8+\sqrt{8}+\sqrt{20}+\sqrt{40}}$

cảm ơn nhiều

$1)\Leftrightarrow \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

$2)\Leftrightarrow 1+\sqrt{2}+\sqrt{5}$



#9
ThinhSenpai

ThinhSenpai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết

$1)\Leftrightarrow \sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$

$2)\Leftrightarrow 1+\sqrt{2}+\sqrt{5}$

giúp tôi nốt ý này : $\sqrt{12+2\sqrt{6}+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$


Naruto_Rasengan.gif Trong toán học, nghệ thuật nêu vấn đề có giá trị hơn giải quyết nó.

                                                                                                                                                               Georg Cantor.


#10
ttlinhtinh

ttlinhtinh

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 117 Bài viết

giúp tôi nốt ý này : $\sqrt{12+2\sqrt{6}+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}}$

số 12 trong dấu căn bậc hai phải là 6 chứ nhỉ?

Nếu là 6 thì đáp án là: $1 + \sqrt2 + \sqrt3$



#11
ThinhSenpai

ThinhSenpai

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 57 Bài viết

số 12 trong dấu căn bậc hai phải là 6 chứ nhỉ?

Nếu là 6 thì đáp án là: $1 + \sqrt2 + \sqrt3$

12 mà


Naruto_Rasengan.gif Trong toán học, nghệ thuật nêu vấn đề có giá trị hơn giải quyết nó.

                                                                                                                                                               Georg Cantor.


#12
thjiuyghjiuytgjkiutghj

thjiuyghjiuytgjkiutghj

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 70 Bài viết
Chứng minh : $\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{\cdots\cdot\sqrt{2000}}}}}<3$

#13
vienlamdong

vienlamdong

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

mọi người giúp em bài này với ạ, hôm nay kiểm tra mà không làm được bài 4

https://1drv.ms/i/s!...3tBVrLv_f41Zs-Z


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vienlamdong: 25-10-2017 - 23:27





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh