Với những bài tập về biến đổi căn thức, chúng ta có những cách biến đổi căn thức như đưa về dạng bình phương hoặc bình phương số cần phân tích,... Bên cạnh đó cũng có một công thức cũng khá hay:
$\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$
$\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}$
Ví dụ 1:Tính:
$A$= $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$
Áp dụng công thức đã nói trên ta được:
$$A=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$$
$$=\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{4+\sqrt{16-7}}{2}}+\sqrt{\frac{4-\sqrt{16-7}}{2}} & \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \sqrt{\frac{4+\sqrt{16-7}}{2}}-\sqrt{\frac{4-\sqrt{16-7}}{2}} & \end{pmatrix}$$
Ví dụ 2: Rút gọn :
$$B=\frac{\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\begin{pmatrix} \sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3} & \end{pmatrix}}{2+\sqrt{1-x^2}}$$
Rõ ràng ở đây chúng ta áp dụng các phương pháp khác như đặt ẩn phụ, tính $B^{2}$ rồi rút gọn ,... rất khó khăn trong việc giải quyết. Nhưng khi chúng ta áp dụng phương pháp (1) và (2) sẽ tính hiệu của nó trong việc giải quyết dạng toán rút gọn căn thức::
Giải : ĐKXĐ:$-1\leq x \leq 1$
Áp dụng công thức (1), ta được:
$\sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{\frac{1+\sqrt{1-1+x^2}}{2}}+\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-1+x^2}}{2}}$
$=\sqrt{\frac{1+\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}}{2}} +\sqrt{\frac{1-\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}}{2}}$
Đến đây ta thấy khi $x\geq 0$ và $x< 0$ đều có cùng 1 kết quả là $\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})$
$\sqrt{(1+x)^3}-\sqrt{(1-x)^3}$= $(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})[(1+x)+\sqrt{1-x^2}+(1-x)]$
$= (\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(2+\sqrt{1-x^2})$
Vậy $B$=$\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})(\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x})(2+\sqrt{1-x^2})}{2+\sqrt{1+x^2}}$
$=\frac{1}{\sqrt{2}}((1+x)-(1-x))$=$\sqrt{2}x$
Ví dụ 3: Chứng minh rằng :
$$A=\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}=\sqrt{2}+\sqrt{10}$$
Áp dụng công thức , ta được :
$$A=\sqrt{8+2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{8-2\sqrt{10+2\sqrt{5}}}$$
$A=\sqrt{8+\sqrt{40+8\sqrt{5}}}+\sqrt{8-\sqrt{40+8\sqrt{5}}}$
$$\bigl(\begin{smallmatrix} \sqrt{\frac{8+\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}}+\sqrt{\frac{8-\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}} & \end{smallmatrix}\bigr)+\bigl(\begin{smallmatrix} \sqrt{\frac{8+\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}}-\sqrt{\frac{8-\sqrt{64-40-8\sqrt{5}}}{2}} & \end{smallmatrix}\bigr)$$
$$=2.\sqrt{\frac{8+(2\sqrt{5}-2)}{2}}$$
$$=\sqrt{12+4\sqrt{5}}$$
$$=\sqrt{10}+\sqrt{2}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 09-10-2013 - 13:09