Đề thi HSG tỉnh Quảng Ninh năm học 2013-2014
Bài 1(4 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số $y=\dfrac{x-2}{x+1}$, biết tiếp tuyến đó cắt các đường tiệm cận của đồ thị hàm số lần lượt tại A và B sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất?
Bài 2(5 điểm)Giaỉ phương trình sau
$$4^{-|x-2|} \log_4 (x^2-4x+6)+2^{4x-x^2-4} \log_{\dfrac{1}{2}}(2|x-2|+1)=0.$$
Bài 3(3 điểm)
Một lớp học có 8 học sinh giỏi Toán là nam. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh trong 20 học sinh đó để lập một abn cán sự. Tính xác suất để 4 học sinh được chọn có nam,có nữ, có cả học sinh giỏi Toán và học sinh giỏi Lí.
Bài 4(5 điểm) Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, $\widehat {ABC}=120^o$. Các mặt phẳng (ACC’A’), và (BDD’B’) cùng vuông góc với (ABCD).Các điểm M, N, P tương ứng là trung điểm của CD, B’C’, DD’ và MN vuông góc với BD’.
a)Tính thể tích khối tứ diện MNBD.
b)Tính cosin góc tạo bởi (ABCD) và (AB’P)
Bài 5(3 điểm)
Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b, AB=c, và các góc trong tam giác là A, B, C
a)Chứng minh rằng $b^2=a^2+ac$ khi và chỉ khi B=2A.
b)Tìm tam giác ABC có B=2A và 3 cạnh có số đo là 3 số nguyên liên tiếp.
Bài 6 Cho 3 số thực a, , c thỏa mãn: $a^2+2b^2+4c^2=12; 0 \leq a \leq b \leq c$
Tính GTLN của $P=ab^2+4bc^2+ca^2-abc-b^2+3b.$