Chủ đề này có 7 trả lời

[Dam Uoc Mo]

Cho $x,y\in R$ thỏa mãn $xy\neq 0$ và $xy(x+y)=x^{2}-xy+y^{2}$.Tìm $maxQ=\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}$.

[Johan Liebert]

Ta có: $x^3+y^3 \geq xy(x+y) =x^2-xy+y^2$

 

$\leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2) \geq x^2-xy+y^2$

 

Vì $x^2-xy+y^2 >0$ nên $x+y \geq 1$

 

Lại có: $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}=\dfrac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^3y^3}=\dfrac{xy(x+y)^2}{x^3y^3}$

 

$=\dfrac{(x+y)^2}{x^2y^2}$

 

Ta lại có: $xy(x+y)+3xy=(x+y)^2$

 

$\leftrightarrow xy(x+y+3)=(x+y)^2 \leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{x+y+3}{x+y}=1+\dfrac{3}{x+y} \leq 1+3=4$

 

$\leftrightarrow Q=\dfrac{(x+y)^2}{x^2y^2} \leq 16$

 

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Johan Liebert: 04-02-2014 - 09:57

[Dam Uoc Mo]

Ta có: $x^3+y^3 \geq xy(x+y) =x^2-xy+y^2$

 

$\leftrightarrow (x+y)(x^2-xy+y^2) \geq x^2-xy+y^2$

 

Vì $x^2-xy+y^2 >0$ nên $x+y \geq 1$

 

Lại có: $\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}=\dfrac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^3y^3}=\dfrac{xy(x+y)^2}{x^3y^3}$

 

$=\dfrac{(x+y)^2}{x^2y^2}$

 

Ta lại có: $xy(x+y)+3xy=(x+y)^2$

 

$\leftrightarrow xy(x+y+3)=(x+y)^2 \leftrightarrow \dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{x+y+3}{x+y}=1+\dfrac{3}{x+y} \leq 1+3=4$

 

$\leftrightarrow Q=\dfrac{(x+y)^2}{x^2y^2} \leq 16$

 

Dấu $"="$ xảy ra $\leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}$

Nay xem lại mới thấy.Ngay từ bđt đầu tiên ấy,đã có x,y dương đâu mà đã áp dụng vậy bạn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dam Uoc Mo: 18-02-2014 - 23:15

[Le Pham Quynh Tran]

Đặt $a=\frac{1}{x}; b=\frac{1}{y}$

$(x+y)xy=x^2-xy+y^2<=> \frac{1}{ab}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{ab}$

$<=>\frac{a+b}{a^2b^2}=\frac{a^2+b^2-ab}{a^2b^2}=>a+b=a^2+b^2-ab$

$Q=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)^2\geq 4ab$

$=>ab\leq \frac{1}{4}(a+b)^2$

$a+b=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab\geq (a+b)^2-\frac{3}{4}(a+b)^2=\frac{1}{4}(a+b)^2$

$<=>(a+b)^2-4(a+b)\leq 0<=>(a+b-4)(a+b)\leq 0<=> 0\leq a+b\leq 4$

$=> 0\leq Q\leq 16$

Vậy $Q_{max}=16<=>a=b=2<=>x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Le Pham Quynh Tran: 19-02-2014 - 01:03

[shinichikudo201]

Nay xem lại mới thấy.Ngay từ bđt đầu tiên ấy,đã có x,y dương đâu mà đã áp dụng vậy bạn?

Bổ đề $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)$ không hề cần đk dương. Chứng minh như sau:

$x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)\Leftrightarrow (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\geq xy(x+y)$

$\Leftrightarrow x^{2}-xy+y^{2}\geq xy\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq 0$

(luôn đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichikudo201: 19-02-2014 - 17:21

[Cao thu]

Đặt $a=\frac{1}{x}; b=\frac{1}{y}$

$(x+y)xy=x^2-xy+y^2<=> \frac{1}{ab}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}-\frac{1}{ab}$

$<=>\frac{a+b}{a^2b^2}=\frac{a^2+b^2-ab}{a^2b^2}=>a+b=a^2+b^2-ab$

$Q=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)=(a+b)^2\geq 4ab$

$=>ab\leq \frac{1}{4}(a+b)^2$

$a+b=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab\geq (a+b)^2-\frac{3}{4}(a+b)^2=\frac{1}{4}(a+b)^2$

$<=>(a+b)^2-4(a+b)\leq 0<=>(a+b-4)(a+b)\leq 0<=> 0\leq a+b\leq 4$

$=> 0\leq Q\leq 16$

Vậy $Q_{max}=16<=>a=b=2<=>x=y=\frac{1}{2}$

Sai dấu rồi.

[Le Pham Quynh Tran]

đúng mà bạn, mình kiểm tra lại rồi

[Dam Uoc Mo]

Bổ đề $x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)$ không hề cần đk dương. Chứng minh như sau:

$x^{3}+y^{3}\geq xy(x+y)\Leftrightarrow (x+y)(x^{2}-xy+y^{2})\geq xy(x+y)$

$\Leftrightarrow x^{2}-xy+y^{2}\geq xy\Leftrightarrow (x-y)^{2}\geq 0$

(luôn đúng)

Hè hè,biết x+y mang dấu gì mà đem chia 2 vế thế bạn?