Nên dùng các BĐT đã cho để chứng minh thì hay hơn !!~
Bài tập $2$
Sử dụng BĐT (2) , ta chọn $\alpha =\frac{a}{a+b},\beta =\frac{b}{b+c},\gamma =\frac{c}{c+a}$
Bài tập $3$ :
Sử dụng BĐT (2) , chọn $\alpha =\frac{2b}{a},\beta =\frac{2c}{b},\gamma =\frac{2c}{a}$ :
$\sum a^{2}\geq \sum ab+\frac{b}{a}(a-b)^{2}+\frac{c}{b}(b-c)^{2}+\frac{c}{a}(c-a)^{2}$
$\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq \sum ab+\frac{b}{a}(a^{2}+b^{2}-2ab)+\frac{c}{b}(b^{2}+c^{2}-2bc)+\frac{c}{a}(c^{2}+a^{2}-2ca)$
$\Leftrightarrow \sum a^{2}\geq 2(ab+bc+ca)+\frac{b^{3}}{a}+\frac{c^{3}}{b}+\frac{c^{3}}{a}-2b^{2}-4c^{2}$
Suy ra ĐPCM
Bài tập $4$ :
Áp dụng BĐT (3) , chọn $\alpha =b,\beta =c,\gamma =a$
Bài tập $5$ :
Áp dụng BĐT (4) , suy ra $\frac{a^{m+n}+b^{m+n}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{m+n}+\frac{\alpha }{4}(a^{m}-b^{m})(a^{n}-b^{n})$
Chọn $m=2,n=1$ ta có " $\frac{a^{3}+b^{3}}{2}\geq (\frac{a+b}{2})^{3}+\frac{\alpha }{4}(a^{2}-b^{2})(a-b)$
Chọn $0< \alpha =\frac{a}{a+b}< 1$
$\Rightarrow 4(a^{3}+b^{3})\geq (a+b)^{3}+2a(a-b)^{2}$
$\Rightarrow \sqrt[3]{4(a^{3}+b^{3})-2a(a-b)^{2}}\geq a+b$
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{2(a^{3}+b^{3})-a(a-b)^{2}}\geq \frac{1}{\sqrt[3]{2}}(a+b)$
Tươn tự ta có ĐPCM
Bài tập $6$ :
Áp dụng BĐT (6) với $\alpha =\frac{1}{4}$ ta có :
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{2}{a+b}+\frac{1}{\sqrt{ab}}$
Tương tự $\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq \frac{2}{b+c}+\frac{1}{\sqrt{bc}}$
$\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\geq \frac{2}{c+a}+\frac{1}{\sqrt{ca}}$
Cộng theo vế ta có :
$2(\sum \frac{1}{\sqrt{a}})^{2}\geq 2(\sum \frac{1}{a+b})+5(\sum \frac{1}{\sqrt{ab}})$
$\Rightarrow P\leq 18$
Chủ đề bị khóa
