Giả sử bạn là một nhà kiến trúc sư. Vào một ngày nọ, một công ty kinh doanh bất động sản đến nhờ bạn thiết kế đường đi cho khu nhà ở của họ. Khu nhà ở này gồm $4$ tòa nhà $A,B,C,D$ tọa lạc theo dạng hình vuông cạnh $1 \text{km}$ (tức $AB=BC=CD=DA=1 \text{km}$).
Bên công ty muốn nhờ bạn thiết kế cho họ con đường ngắn nhất kết nối $4$ tòa nhà này lại nhằm thuận tiện cho việc di chuyển qua lại giữa các tòa nhà và tiết kiệm chi phí khi thi công. Theo bạn, bạn sẽ thiết kế như thế nào?
Hãy xem qua một số ý tưởng thiết kế con đường sau đây:
Thiết kế 1:
Dễ thấy bản thiết kế này rất thuận tiện cho việc di chuyển qua lại giữa các tòa nhà. Tuy nhiên tổng chiều dài khi thi công lại quá lớn. Ta có $AB=BC=CD=DA=1 \text{km}$ và $ABCD$ là hình vuông, sử dụng định lý Pitagoras, ta dễ dàng tính được $$l_{1}=AB+BC+CD+DA+AC+DB=4+2\sqrt{2} \approx 6,82 \text{km}$$
Rõ ràng bản thiết kế này chưa tối ưu.
Thiết kế 2:
Đây là 1 ý tưởng rất độc đáo. Do $ABCD$ hình vuông nên nó sẽ nội tiếp trong 1 đường tròn. Bản thiết kế này dù điều kiện di chuyển không thuận lợi bằng bản thiết kế 1 nhưng vẫn đảm bảo được tính kết nối cả $4$ tòa nhà.
Dễ tính được tổng chiều dài con đường là:
$$l_{2}=\pi \sqrt{2} \approx 4,44 \text{km}$$
Xét về độ dài ta thấy bản thiết kế này tối ưu hơn bản 1. Tuy nhiên, ta hãy xe tiếp 1 bản thiết kế khác.
Thiết kế 3:
Thiết kế này chỉ khác bản 1 ở chỗ bỏ đi 2 đường chéo $AC$ và $BD$. Ta được tổng độ dài:
$$l_{3}=AB+BC+CD+DA=4 \text{km}$$
Thiết kế này tiết kiệm được $0,44 \text{km}$ đường so với bản số $2$.
Thiết kế 4:
Bản thiết kế này khá giống với bản số $3$, khác một chỗ là nó bỏ đi đoạn $AB$, nhưng vẫn giữ được tính kết nối cả $4$ tòa nhà. Tổng độ dài:
$$l_{4}=AD+DC+CB=3 \text{km}$$
Thiết kế này tiết kiệm được đến $1 \text{km}$ so với bản số $3$
Có lẽ nhiều bạn đọc đã nghĩ rằng tổng đoạn đường ngắn nhất mà vẫn đảm bảo sự liên kết giữa 4 tòa nhà chính là đường chéo $AC$ và $BD$. Ta hãy xem bản thiết kế tiếp theo.
Thiết kế 5
Ta có $AC=BD=\sqrt{2}$ nên ta được tổng độ dài các đoạn đường này là:
$$l_{5}=AC+BD=2\sqrt{2} \approx 2,82 \text{km}$$
Đây cũng chính là bản thiết kế có tổng chiều dài ngắn nhất (tính đến hiện tại) mà vẫn đảm bảo sự kết nối giữa $4$ tòa nhà. Tuy nhiên, đây vẫn chưa phải là bản thiết kế tối ưu.
Thật ra để tính chính xác giá trị nhỏ nhất của tổng độ dài ta cần đến vi tích phân hàm nhiều biến, khá khó cho những ai mới bắt đầu làm quen với khái niệm vi tích phân. Lúc này, ta sẽ sử dụng 1 công cụ thoạt nhìn chả liên quan gì mấy đến toán học, hoàn toàn mang tính tự nhiên. Trước khi sử dụng đến “công nghệ” này, ta cần 1 dụng cụ đặc biệt.
Dùng 2 miếng kính hình vuông bằng nhau. Lấy 1 tấm kính bất kỳ, ở mỗi góc vuông của tấm kính đó ta gắn 4 que tăm có độ dài bằng nhau, đầu còn lại của que tăm ta gắn vào miếng kính còn lại tạo thành khối vuông sao cho giống như hình dưới đây.
4 que tăm tượng trưng cho 4 tòa nhà. “Công nghệ” mà ta sử dụng đó chính là 1 tô xà phòng mà thôi.
Ta sẽ nhúng khối vuông này vào trong tô xà phòng đó, sau đó kéo lên. Khi đó, ta sẽ thu được những màng xà phòng bám trên các que tăm. Về mặt tự nhiên, các màng xà phòng sẽ tự giảm thiểu đi các năng lượng tự do. Hay nói cách khác, màng xà phòng sẽ tự tạo cho mình có được diện tích bề mặt nhỏ nhất (như bong bóng vậy). Vì vậy, nếu ta áp dụng tính chất vật lý này của màng xà phòng vô vấn đề toán học trên, ta sẽ thu được kết quả tối ưu nhất. Hãy thử nhé!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangtrong2305: 21-10-2014 - 22:53