Chủ đề này có 2 trả lời

[babythichtoan]

Tìm Nguyên Hàm $\int {\frac{{2{x^2} + 4x + 1}}{{\sqrt {2x + 1} }}} dx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babythichtoan: 18-05-2015 - 21:44

[Hoang Tung 126]

Tìm Nguyên Hàm $\int {\frac{{2{x^2} + 4x + 1}}{{\sqrt {2x + 1} }}} dx$

Đặt $I=\int \frac{2x^2+4x+1}{\sqrt{2x+1}}dx= > 2I=\int \frac{4x^2+8x+2}{\sqrt{2x+1}}dx=\int \frac{2x(2x+1)+3(2x+1)-1}{\sqrt{2x+1}}dx=\int \frac{(2x+3)(2x+1)-1}{\sqrt{2x+1}}dx=\int (2x+3)\sqrt{2x+1}dx-\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx$

 

   Đặt $I_{1}=\int (2x+3)\sqrt{2x+1}dx$ , $I_{2}=\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx$

 

Ta có : $I_{1}=\int (2x+3)\sqrt{2x+1}dx$

 

   Đặt $\sqrt{2x+1}=t= > dt=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx,2x+3=t^2+2$

 

$= > I_{1}=\int (2x+3)\sqrt{2x+1}dx=\int (2x+3).(2x+1).\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx=\int t^2(t^2+2)dt=\int t^4dt+2\int t^2dt=\frac{t^5}{5}+\frac{2t^3}{3}+C$

 

   $I_{2}=\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx=\int dt=t$

 

$= > I=I_{1}+I_{2}=\frac{t^5}{5}+\frac{2t^3}{3}+t+C=\frac{(\sqrt{2x+1})^5}{5}+\frac{2}{3}(\sqrt{2x+1})^3+\sqrt{2x+1}+C$

[LzuTao]

Tìm Nguyên Hàm $\int {\frac{{2{x^2} + 4x + 1}}{{\sqrt {2x + 1} }}} dx$

Đặt $u=\sqrt{2x+1}$, từ đó ta được: 

\begin{align*} \int {\frac{{2{x^2} + 4x + 1}}{{\sqrt {2x + 1} }}}\mathrm dx & =\int\left (\frac12(u^2-1)^2+2(u^2-1)+1  \right )\mathrm du\\   & = \int\left (\frac12u^4+ u^2-\frac12  \right )\mathrm du\\   & =\frac1{10}u^5+\frac13u^3-\frac12u +\text C\\  & = \frac1{10}\sqrt {2x + 1}^5+\frac13\sqrt {2x + 1}^3-\frac12\sqrt {2x + 1} +\text C \end{align*}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LzuTao: 27-08-2015 - 08:49