Chủ đề bị khóa
1. Từ điểm S cố định ở bên ngoài đường tròn (O) cho trước, vẽ tiếp tuyến SA (A là tiếp điểm) và cát tuyến SBC không qua tâm O. Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh 4 điểm S,A,O,I cùng thuộc một đường tròn.Xác định tâm và bán kính của đường tròn này.
b) Gọi O’là điểm đối xứng của O qua I.Từ O’ kẽ đường thẳng vuông góc với SA tại D.Chứng minh IA = ID.
c) Kẽ đường cao AE của DABC cắt O’D tại H; HI cắt AO tại K.Chứng minh K thuộc đường tròn (O) và H là trực tâm của DABC.
d) Chứng minh rằng khi cát tuyến SBC của (O) quay quanh điểm S thì H di động trên một cung tròn cố định.
2. Cho đường tròn (O) có đường kính AB.Gọi H là điểm nằm giữa A và B sao cho AH < OH. Qua H vẽ đường thẳng vuông góc với AB,đường thẳng này cắt (O) tại C và D.Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M. Từ M hạ đường vuông góc MN với đường thẳng AB (N thuộc AB)
a) Chứng minh tứ giác MNAC nội tiếp và MA.MD = MC.MB.
b) Chứng minh NC là tiếp tuyến của (O) và NA.NB = NH.NO.
c) Lấy điểm S thuộc đoạn thẳng CH, đường thẳng vuông góc với OS cắt tia NC và ND lần lượt tại R và T.Chứng minh DORT cân và 4 điểm N,T,O,R cùng thuộc một đường tròn.
d) Tiếp tuyến tại A của (O) cắt NC tại E.Chứng minh EB đi qua trung điểm của CH.
3. Từ M nằm ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD với (O)(A,B là tiếp điểm và O nằm trong góc AMD); gọi I là trung điểm của CD.
a) Chứng tỏ MA.MB = MC.MD.
b) Chứng minh tứ giác OABI nội tiếp.
c) Qua C vẽ đường thẳng ^ với OA cắt AB và AD theo thứ tự tại E và F.Chứng tỏ EF = EC
d) Tiếp tuyến tại D và C của (O) cắt nhau ở K.Chứng tỏ 3 điểm A, B, K thẳng hàng.
4. Từ điểm M nằm ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến MA, MB và đường kính BC của (O).MC cắt (O) tại F, MO cắt AB tại I.
a) Chứng minh: tứ giác MBIF nội tiếp
b) CI cắt (O) tại D. Chứng minh: Tứ giác CODM nội tiếp.
c) BD cắt OM tại E, kẽ EH vuông góc BM (H thuộc BM), HI cắt BC tại K.Chứng minh: OI là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp DKCI.
d) Chứng minh: A, F, E thẳng hàng.
5. Cho 2 đường tròn (O) và (I) cắt nhau tại A, B.Tia IB cắt (O) tại điểm thứ hai E; tia OB cắt (I) tại F.
a) Chứng minh OB.IF = OE.IB
b) Chứng minh tứ giác EOAF nội tiếp.
c) Qua B vẽ đường thẳng // EF, cắt (O) tại M và cắt (I) tại N.Chứng minh MN = AE + AF
d) Gọi C là giao điểm của AF và BI.Chứng minh BC.EF = BE.CF
6. Cho (O;R) có dây BC cố định (BC<2R) và điểm A di động trên cung lớn BC( A không trùng B và C).Ba đường cao AD, BE, CF của DABC cắt nhau tại H;tia BE cắt (O) tại I và tia CF cắt (O) tại K ( I khác B và K khác C )
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.Suy ra A là điểm chính giữa của cung KI không chứa B.
b) Gọi M là trung điểm của BC.Tia phân giác của góc ABE cắt tia phân giác của góc ACF tại Q. Chứng minh : BQ ^ QC.
c) CQ cắt HE tại S,Chứng minh : SE = SH.sinBAC.
d) Trên tia AC lấy L sao cho CL = AB.Gọi P là điểm đối xứng của A qua M.Đường thẳng LP cắt đường thẳng OM tại T.Chứng minh: , = ,
7. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) (AB<AC).Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB,AC theo thứ tự tại E, D. BD cắt CE tại H, AH cắt BC tại K.
a) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp và AH.AK = AD.AC
b) Đường thẳng DE cắt BC tại S.Chứng minh: SE.SD = SB.SC và SB.SC = SK.SO
c) Từ A kẽ tiếp tuyến AM của (O) (M là tiếp điểm).Chứng minh: AM tiếp xúc với (HMK).
d) MH cắt (O) tại N. Chứng minh : KA là phân giác của góc NKM.
8. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp(O;R) và AH là đường cao.Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC. Tia phân của góc BAC cắt (O) tại I.
a) Chứng minh OI ^ BC và AI cũng là tia phân giác của góc HAO.
b) Chứng minh tứ giác BFHD nội tiếp.
c) Đường tròn (A;AH) cắt (O) tại M và N. Chứng minh 4 điểm M, D, E,N thẳng hàng.
d) Gọi F là giao điểm của MN và OA.Gọi P và Q lần lượt là tâm của đường tròn ngoại tiếp các DBDF và DFEC. Chứng minh : PQ // MN.
9. Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R).Từ điểm M bất kỳ thuộc cung nhỏ BC vẽ MD, ME, MF lần lượt vuông góc AB, BC, AC tại D, E, F..
a) Chứng minh tứ giác MEFC và MDAF nội tiếp.
b) Chứng minh MB.MF = MD.MC và D, E, F thẳng hàng.
c) Gọi I là trung điểm AB và K là trung điểm EF.Chứng minh MK vuông góc với IK.
d) Chứng minh: = =
10. Từ điểm M nằm ngoài (O;R) vẽ 2 tiếp tuyến MA,MB với (O)(A,B là 2 tiếp điểm).Gọi C là điểm trên cung lớn AB của (O).Vẽ AH ^ BC. Gọi I là trung điểm cùa AH, CI cắt (O) tại điểm thứ hai là E, ME cắt (O) tại điểm thứ hai là F. MO cắt AB tại K.
a) Chứng minh : MA = ME.MF
b) Góc AEK = 90
c) Chứng minh OM tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp DMEA
d) Chứng minh khi điểm C di chuyển trên cung AB lớn thì EF có độ dài không đổi.
