Chủ đề này có 21 trả lời

[LeHKhai]

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016

Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2015

Môn thi: TOÁN (chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 

---------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

 

Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức sau: $A=\left ( \frac{\sqrt{a}+2}{a+2\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}-2}{a-1} \right ).\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}$ với $a>0$ và $a\neq 1$.

Câu 2: (1 điểm) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\left | x \right |+\sqrt{y-1}=7\\ x^2\left ( y-1 \right )=144.\\ \end{matrix}\right.$

Câu 3: (1 điểm) Xác định $m$ để phương trình $\left (m-1\right )x^2+2\left (m-1\right )x+m+3=0$ có hai nghiệm và hiệu của hai nghiệm đó bằng $1$.

Câu 4: (1 điểm) Tìm các cặp số nguyên $x$, $y$ thoả điều kiện: $6x^2+4xy+9x+6y-16=0$.

Câu 5: (1 điểm) Cho $a=\sqrt[3]{5-2\sqrt{6}}+\sqrt[3]{5+2\sqrt{6}}$. Hãy tìm một đa thức bậc ba với hệ số nguyên nhận $a$ làm nghiệm.

Câu 6: (1 điểm) Giải phương trình sau $x^2\left(x^4-9\right)\left(x^2-6\right)+81=0$.

Câu 7: (1 điểm) Cho $a$, $b$, $c$, $d$ là các số dương. Chứng minh rằng $\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}\geq \frac{c-b}{c+a}+\frac{a-c}{a+d}$.

Câu 8: (1 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có diện tích bằng $1$. Chứng minh rằng $\sqrt{2}\left(AB+AC\right)\geq BC+2$.

Câu 9: (1 điểm) Cho tam giác $SAB$. Một đường tròn đi qua $A$ và $B$ cắt lại các cạnh $SA$, $SB$ của tam giác $SAB$ lần lượt tại $C$ và $D$ ($C$, $D$ khác $S$). Đường thẳng $CD$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ tại $E$ và $F$. Chứng minh tam giác $SEF$ cân.

Câu 10: (1 điểm) Cho tam giác $ABC$ (có $AB < AC$) nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$. Đường phân giác trong $AD$ và trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ theo thứ tự cắt đường tròn $\left(O\right)$ lần nữa tại $P$ và $Q$. Chứng minh $DP > MQ$.

 

----Hết----

Giám thị không giải thích gì thêm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LeHKhai: 12-06-2015 - 23:12

[hxthanh]

 

Câu 7: (1 điểm) Cho $a$, $b$, $c$, $d$ là các số dương. Chứng minh rằng $\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}\geq \frac{c-b}{c+a}+\frac{a-c}{a+d}$.

 

 

 

Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

$\frac{a}{d+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+d}+\frac{d}{b+c}\ge \frac{a}{a+d}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{d}{d+b}$

 

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{d+b}+\frac{b+a}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}+\frac{d+c}{b+c}\ge 4$

 

$\Leftrightarrow (a+b)\left(\frac{1}{d+b}+\frac{1}{a+c}\right)+(c+d)\left(\frac{1}{a+d}+\frac{1}{b+c}\right)\ge 4$

 

Áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}$, ta có:

 

$(a+b)\left(\frac{1}{d+b}+\frac{1}{a+c}\right)+(c+d)\left(\frac{1}{a+d}+\frac{1}{b+c}\right)\ge\frac{4(a+b)}{d+b+a+c}+\frac{4(c+d)}{a+d+b+c}=4$

[MathSpace001]

Câu 7:  Vì a, b, c, d  là các số dương và có vai trò như nhau nên ta đặt $a\geq b\geq c\geq d> 0$

 

      Khi đó $\frac{a-d}{d+b}\geq \frac{a-d}{a+d}$

 

           $\frac{d-b}{b+c}\geq \frac{d-b}{a+c}$

 

          =>  $\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}\geq \frac{a-d}{a+d}+\frac{d-b}{c+a}$

 

   Ta có  $\frac{a-d}{a+d}+\frac{d-b}{c+a}-\frac{c-b}{c+a}-\frac{a-c}{a+d}$

 

       $=\frac{c-d}{a+d}-\frac{c-d}{c+a}$

 

      $ =(c-d)\left ( \frac{1}{a+d}-\frac{1}{c+a} \right )$

 

       $=\frac{(c-d)^{2}}{(a+d)(c+a)}\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MathSpace001: 13-06-2015 - 10:34

[MathSpace001]

Câu 3       (m-1)x²+2(m-1)x+m+3=0

           <=>mx²-x²+2mx-2x+m+3=0

           <=>m(x²+2x+1)-(x²+2x+1)+4=0

           <=>m(x+1)²-(x+1)²=-4

           <=>(x+1)²(m-1)=-4

Vì (x+1)²$\geq 0$=>Có 3 trường hợp là m-1=-1;(x+1)²=4

                                                               m-1=-2;(x+1)²=2

                                                               m-1=-4;(x+1)²=1

Giải ra ta thấy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

                                                                            

[devilloveangel]

Câu 7:  Vì a, b, c, d  là các số dương và có vai trò như nhau nên ta đặt $a\geq b\geq c\geq d> 0$

 

      Khi đó $\frac{a-d}{d+b}\geq \frac{a-d}{a+d}$

 

           $\frac{d-b}{b+c}\geq \frac{d-b}{a+c}$

 

          =>  $\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}\geq \frac{a-d}{a+d}+\frac{d-b}{c+a}$

 

   Ta có  $\frac{a-d}{a+d}+\frac{d-b}{c+a}-\frac{c-b}{c+a}-\frac{a-c}{a+d}$

 

       $=\frac{c-d}{a+d}-\frac{c-d}{c+a}$

 

      $ =(c-d)\left ( \frac{1}{a+d}-\frac{1}{c+a} \right )$

 

       $=\frac{(c-d)^{2}}{(a+d)(c+a)}\geq 0$

Sao lại có vai trò như nhau nhỉ ?  , bạn xem lại thử có nhầm ko 

[Khoai Lang]

 

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016

Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2015

Môn thi: TOÁN (chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 

---------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

 

Câu 6: (1 điểm) Giải phương trình sau $x^2\left(x^4-9\right)\left(x^2-6\right)+81=0$.

 

----Hết----

Giám thị không giải thích gì thêm

 

PT $\Leftrightarrow x^2(x^2-3)(x^2+3)(x^2-6)+81=0$

$\Leftrightarrow (x^4-3x^2)(x^4-3x^2-18)+81=0$

Đặt $t=(x^4-3x^2)$

$PT \Leftrightarrow t(t-18)+81=0$

Đến đây dễ rồi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Khoai Lang: 13-06-2015 - 16:43

[devilloveangel]

 

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016

Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2015

Môn thi: TOÁN (chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 

---------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

 

Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức sau: $A=\left ( \frac{\sqrt{a}+2}{a+2\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}-2}{a-1} \right ).\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}$ với $a>0$ và $a\neq 1$.

Câu 2: (1 điểm) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\left | x \right |+\sqrt{y-1}=7\\ x^2\left ( y-1 \right )=144.\\ \end{matrix}\right.$

Câu 3: (1 điểm) Xác định $m$ để phương trình $\left (m-1\right )x^2+2\left (m-1\right )x+m+3=0$ có hai nghiệm và hiệu của hai nghiệm đó bằng $1$.

Câu 4: (1 điểm) Tìm các cặp số nguyên $x$, $y$ thoả điều kiện: $6x^2+4xy+9x+6y-16=0$.

Câu 5: (1 điểm) Cho $a=\sqrt[3]{5-2\sqrt{6}}+\sqrt[3]{5+2\sqrt{6}}$. Hãy tìm một đa thức bậc ba với hệ số nguyên nhận $a$ làm nghiệm.

Câu 6: (1 điểm) Giải phương trình sau $x^2\left(x^4-9\right)\left(x^2-6\right)+81=0$.

Câu 7: (1 điểm) Cho $a$, $b$, $c$, $d$ là các số dương. Chứng minh rằng $\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}\geq \frac{c-b}{c+a}+\frac{a-c}{a+d}$.

Câu 8: (1 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có diện tích bằng $1$. Chứng minh rằng $\sqrt{2}\left(AB+AC\right)\geq BC+2$.

Câu 9: (1 điểm) Cho tam giác $SAB$. Một đường tròn đi qua $A$ và $B$ cắt lại các cạnh $SA$, $SB$ của tam giác $SAB$ lần lượt tại $C$ và $D$ ($C$, $D$ khác $S$). Đường thẳng $CD$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ tại $E$ và $F$. Chứng minh tam giác $SEF$ cân.

Câu 10: (1 điểm) Cho tam giác $ABC$ (có $AB < AC$) nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$. Đường phân giác trong $AD$ và trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ theo thứ tự cắt đường tròn $\left(O\right)$ lần nữa tại $P$ và $Q$. Chứng minh $DP > MQ$.

 

----Hết----

Giám thị không giải thích gì thêm

 

Câu 4 : $(3x+2y)(2x+3)=16$ => giải hpt nghiệm nguyên

[devilloveangel]

 

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2015 - 2016

Ngày thi: 12 tháng 6 năm 2015

Môn thi: TOÁN (chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

 

---------------------------------------------------------------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC

 

Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức sau: $A=\left ( \frac{\sqrt{a}+2}{a+2\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}-2}{a-1} \right ).\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}}$ với $a>0$ và $a\neq 1$.

Câu 2: (1 điểm) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix}\left | x \right |+\sqrt{y-1}=7\\ x^2\left ( y-1 \right )=144.\\ \end{matrix}\right.$

Câu 3: (1 điểm) Xác định $m$ để phương trình $\left (m-1\right )x^2+2\left (m-1\right )x+m+3=0$ có hai nghiệm và hiệu của hai nghiệm đó bằng $1$.

Câu 4: (1 điểm) Tìm các cặp số nguyên $x$, $y$ thoả điều kiện: $6x^2+4xy+9x+6y-16=0$.

Câu 5: (1 điểm) Cho $a=\sqrt[3]{5-2\sqrt{6}}+\sqrt[3]{5+2\sqrt{6}}$. Hãy tìm một đa thức bậc ba với hệ số nguyên nhận $a$ làm nghiệm.

Câu 6: (1 điểm) Giải phương trình sau $x^2\left(x^4-9\right)\left(x^2-6\right)+81=0$.

Câu 7: (1 điểm) Cho $a$, $b$, $c$, $d$ là các số dương. Chứng minh rằng $\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}\geq \frac{c-b}{c+a}+\frac{a-c}{a+d}$.

Câu 8: (1 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ và có diện tích bằng $1$. Chứng minh rằng $\sqrt{2}\left(AB+AC\right)\geq BC+2$.

Câu 9: (1 điểm) Cho tam giác $SAB$. Một đường tròn đi qua $A$ và $B$ cắt lại các cạnh $SA$, $SB$ của tam giác $SAB$ lần lượt tại $C$ và $D$ ($C$, $D$ khác $S$). Đường thẳng $CD$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $SAB$ tại $E$ và $F$. Chứng minh tam giác $SEF$ cân.

Câu 10: (1 điểm) Cho tam giác $ABC$ (có $AB < AC$) nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$. Đường phân giác trong $AD$ và trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ theo thứ tự cắt đường tròn $\left(O\right)$ lần nữa tại $P$ và $Q$. Chứng minh $DP > MQ$.

 

----Hết----

Giám thị không giải thích gì thêm

 

Câu 5 : $a^3 = 10 + 3a$ đặt a = t => phương trình $t^3-3t-10$ nhận a là nghiệm  

[Hoangtheson2611]

Câu 1 : A=$\frac{2}{a-1}$

[Hoang Nhat Tuan]

Câu 7 có thế viết lại thành $\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\geq 0$

Cộng 4 cho cả 2 vế rồi sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz chứng minh được

[Hoangtheson2611]

Câu 8:

AB.AC=2

Giả sử : $\sqrt{2}(AB+AC)\geqslant BC+2 \Leftrightarrow 2(AB^{2}+AC^{2}+2.AB.AC)\geqslant BC^{2}+4.BC+4\Leftrightarrow BC^{2} + 4\geqslant 4.BC \Leftrightarrow (BC-2)^{2}\geqslant 0$ (luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra khi BC=2 ; AB=AC=$\sqrt{2}$

[LeHKhai]

Ai làm giúp em câu 10 thôi ạ
Em làm bài đó cả tiếng vẫn không được

[MathSpace001]

Sao lại có vai trò như nhau nhỉ ?  , bạn xem lại thử có nhầm ko 

có lẽ tớ nhầm

[nguoithanbitn]

 

Lời giải rất hay, mọi người gợi ý giúp em câu 9 và câu 10 với

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguoithanbitn: 01-03-2016 - 16:58

[nguoithanbitn]

Mọi người có thể gợi ý giúp mình câu 9 và câu 10 với

[thanh_kha]

a khải,e kha nè....câu 4 e...bí

[nntien]

 

 

 

Câu 4: (1 điểm) Tìm các cặp số nguyên $x$, $y$ thoả điều kiện: $6x^2+4xy+9x+6y-16=0$.

 

 

 

Câu 4 : $(3x+2y)(2x+3)=16$ => giải hpt nghiệm nguyên

 

 

a khải,e kha nè....câu 4 e...bí

 

Bạn xem ở trên và nhận xét thêm $2x+3$ là số lẻ mà ước lẻ của 16 là 1 hoặc -1

Từ đó xét trường hợp $2x+3=1$ và trường hợp $2x+3=-1$ là xong nhé bạn.

[nntien]

Bài 9:

Ta có $2 \angle SBA$= sđ cung SE + sđ cung EA = $2 \angle SCD$ =  sđ cung SF + sđ cung EA

=> cung SE = cung SF => SE=SF => tam giác SEF cân.

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nntien: 19-04-2016 - 22:44

[nntien]

Bài 10:

Gọi D' là điểm đối xứng với D qua PM. 

Ta có: góc MD'P = góc MDP=(sđ cung PC + sđ cung AB)/2=(sđ cung PB + sđ cung AB)/2=góc MQP

 => MD'QP nội tiếp đường tròn đường kính PD' => $PD'\geq MQ$.

Dấu "=" không xảy ra (vì nếu MQ là đường kinh thì MD'QP là hình chữ nhật => MD'//MQ vô lý; $AB \neq AC$ => MQ không trùng với MP)

Từ đó ta được: $ PD > MQ$

 

Hình gửi kèm

• 

[hoanghung9g]

Câu 7 có thế viết lại thành $\frac{a-d}{d+b}+\frac{d-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+a}+\frac{c-a}{a+d}\geq 0$

Cộng 4 cho cả 2 vế rồi sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz chứng minh được

BĐT Cauchy-Schwarz chứng minh sao ạ