Giải phương trình nghiệm nguyên:
$x^{2002}+y^{2002}=2003^{2001}(x^{3}+y^{3})$
Giải phương trình nghiệm nguyên:
$x^{2002}+y^{2002}=2003^{2001}(x^{3}+y^{3})$
Giải phương trình nghiệm nguyên:
$x^{2002}+y^{2002}=2003^{2001}(x^{3}+y^{3})$
Thấy 2003 là số nguyên tố nên ý tưởng cho bài này là sử dụng định lí Fermat nhỏ
Từ phương trình ta suy ra $x^{2002}+y^{2002} \vdots 2003$ (1)
-Nếu $x,y$ đều không chia hết cho $2003$ thì theo định lí nhỏ Fermat ta có:
$x^{2002}\equiv 1(mod2003),y^{2002}\equiv 1(mod2003)\rightarrow x^{2002}+y^{2002}\equiv 2(mod2003)$ (trái với (1))
-Nếu trong 2 số có 1 số chia hết cho $2003$, 1 số không chia hết cho $2003$ thì cũng theo định lí nhỏ Fermat ta có
$x^{2002}+y^{2002}\equiv 1(mod2003)$ (trái với (1))
Vậy cả $x,y$ đều chia hết cho $2003$
Đặt $x=2003x_1, y=2003y_1$. Thay vào giả thiết ta được
$x_1^{2002}+y_1^{2002}=2003^2(x_1^3+y_1^3)$
Lập luận tương tự như trên ta cũng có $x_1,y_1$ đều chia hết cho $2003$
Đặt $x_1=2003x_2, y_1=2003y_2$. Thay vào giả thiết ta được:
$2003^{1997}(x_2^{2002}+y_2^{2002})=x_2^3+y_2^3$ (2)
Đến đây ta dễ dàng đánh giá được hai vế của (2)
Ngiệm $x=y=0$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi the man: 30-06-2015 - 05:33
"God made the integers, all else is the work of man."
Leopold Kronecker
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Tổ hợp và rời rạc →
Một số bài toán tổ hợp liên quan đến phương trình nghiệm nguyênBắt đầu bởi hxthanh, 01-04-2024 phần nguyên, phân hoạch và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình →
$x^{y}-x=y^{x}-y$Bắt đầu bởi Hahahahahahahaha, 08-02-2024 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
$\frac{2023}{x + y}+\frac{x}{y+2022}+\frac{y}{4045}+\frac{2022}{x + 2023}=2$Bắt đầu bởi datzv423, 25-03-2023 đại số và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
Tìm $(x;y)$ nguyên thỏa mãn : $x^2+5xy+y^2=5$Bắt đầu bởi Matthew James, 08-01-2023 phương trình nghiệm nguyên |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$2x^{2}-xy=2x^{2}+y^{2}$Bắt đầu bởi thanhng2k7, 22-02-2022 phương trình nghiệm nguyên |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh