Đến nội dung

Hình ảnh

Giải pt: $x^{4}+y^{4}=z^{2}$

phương trình nghiệm nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
Capture

Capture

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 85 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^{4}+y^{4}=z^{2}$



#2
Minh Hieu Hoang

Minh Hieu Hoang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 307 Bài viết

có rất nhiều trường hợp


 
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
 

#3
Bonjour

Bonjour

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 476 Bài viết

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $x^{4}+y^{4}=z^{2}$

Ta chứng minh phương trình vô nghiệm: 

        Giả sử $z^{2}_{0}=x_{0}^{4}+y_{0}^{4}$ với $z_{0},x_{0},y_{0}\in Z_{+}$

          Gọi $d=(x_{0},y_{0})$

                 $\Leftrightarrow x_{0}=dx_{1},y_{0}=dy_{1}$ với $(x_{1},y_{1})=1$ và $x_{1}<x_{0},y_{1}<y_{0}$

                $ \Leftrightarrow z_{0}^{2}=d^{4}(x_{0}^4+y_{0}^4)$

                $\Rightarrow  z_{0}^{2}\vdots d^4\Rightarrow z_{0}\vdots d^2$

                $\Rightarrow z_{0}=d^{2}z_{1}$ với $z_{1}<z_{0}$

       Do đó : $(x_{1}^{2})^{2}+(y_{1}^{2})^{2}=z_{1}^{2}$ với $(x_{1},y_{1})=1$                             $(1)$

   Trong $x_{1}^{2},y_{1}^{2}$ có ít nhất 1 số chẵn .Giả sử $x_{1}^{2}$ chẵn

      Nghiệm của $(1)$ là 

                                 $(x_{1}^{2},y_{1}^{2}, z_{1})=(2kuv ,k(u^2-v^2),k(u^2+v^2))$  với $u>v$ và $(u,v)=1$ 

 
     Vì $(x_{1},y_{1})=1$ nên $k=1$
    Ta có: 
            $y_{1}^{2}+v^{2}=u^{2}$ , $x_{1}$ chẵn .Suy ra $y_{1}$ lẻ $\Rightarrow v$ chẵn               $(2)$
        Nghiệm của $(2)$ là
                              $(v,y_{1}, u)=(2tab ,t(a^2-b^2),t(a^2+b^2))$                                 với $(a,b)=1$
 
     Vì $(u,v)=1$ nên $t=1$ nên 
                                 
                              $(v,y_{1},u)=(2ab,(a^2-b^2),(a^2+b^2))$
                           
   Mặt khác $x_{1}^{2}=2uv\Leftrightarrow (\frac{x_{1}}{2})^{2}=u.\frac{v}{2}$                                 $(3)$
         Nghiệm của $(3)$ là 
                                 $(u,\frac{v}{2},\frac{x_{1}}{2})=(lp^2,lq^2,lpq)$                             với $(p,q)=1$
                     
    Vì $(u,v)=1$ suy ra $l=1$ nên           
                                 
                                 $(u,\frac{v}{2},\frac{x_{1}}{2})=(p^2,q^2,pq)$                                với $(p,q)=1$
                               
    Ta có $v=2ab$ suy ra $ab=\frac{v}{2}=q^{2}$ và $a^2+b^2=u=p^2$
    Mặt khác $ab=q^2,(a,b)=1$ 
              Suy ra :      
                                  $(a,b,q)=(e^2,f^2,ef)$  với $(e,f)=1$
                                 
   Do đó suy ra $p^2=e^4+f^4$ chứng tỏ tồn tại $x_{2}=e,y_{2}=f,z_{2}=p$ mà $x_{2}^{4}+y_{2}^{4}=z_{2}^{2}$
    Bằng lập luận tương tự ta tìm được vô số bộ nghiệm nguyên dương,điều này hiển nhiên vô lí do $z_{0}$ là số nguyên dương giới nội.(Tập các số nguyên dương nhỏ hơn $z_{0}$ là tập hữu hạn ) 
 Nên phương trình vô nghiệm

Con người nếu không có ước mơ, sống không rõ mục đích mới là điều đáng sợ  

                     


#4
hoduchieu01

hoduchieu01

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết

dùng nguyên tắc cực hạn hay còn gọi là nguyên lí khởi đầu cực trị => x=y=z =0 thỏa mãn phương trình 
mặt khác do x,y,z nguyên dương nên phương trình vô nghiệm







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: phương trình nghiệm nguyên

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh