Chủ đề này có 5 trả lời

[microwavest]

Cho tam giác $ABC$, $G$, $O$ lần lượt là trọng tâm và tâm đt ngoại tiếp tam giác, $a$, $b$, $c$ là độ dài các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh:   $9OG^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$

[Bonjour]

Cho tam giác $ABC$, $G$, $O$ lần lượt là trọng tâm và tâm đt ngoại tiếp tam giác, $a$, $b$, $c$ là độ dài các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh:   $9OG^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$

Vì $3\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$

  Nên: $9OG^2=OA^2+OB^2+OC^2+2(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OC}.\overrightarrow{OA})$

          $= 3R^2+\sum (2R^2-a^2)=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$    

Bởi : $2\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}^{2}+\overrightarrow{OB}^{2}-(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB})^2=2R^2-c^2$

[chieckhantiennu]

Cho tam giác $ABC$, $G$, $O$ lần lượt là trọng tâm và tâm đt ngoại tiếp tam giác, $a$, $b$, $c$ là độ dài các cạnh $BC$, $CA$, $AB$. Chứng minh:   $9OG^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$

1 cách khác.

Gọi A' là trung điểm BC.

Áp dụng định lý Stewart cho tam giác AOA' ta có: 

$AA'.OG^2=GA.OA'^2+GA'.OA^2-AA'.GA.GA'$

$\Leftrightarrow  OG^2=\dfrac{GA.OA'^2+GA'.OA^2}{AA'}-GA.GA'.$

mà $OA'^2=R^2-\dfrac{a^2}{4}; GA=\dfrac{2}{3}AA'=\frac{2}{3}\sqrt{\dfrac{b^2+c^2}{2}-\dfrac{a^2}{4}}$

nên $OG^2=\dfrac{R^2}{3}+\dfrac{2}{3}(R^2-\dfrac{a^2}{4})-\dfrac{2}{9}(\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4})=R^2-\dfrac{a^2+b^2+c^2}{9}(dpcm)$

[Changg Changg]

Tổng quát ta có: Nếu $P(x,y,z)$ thì phương tích điểm $P$ đối với $(O)$ là $-\dfrac{yza^2+zxb^2+xyc^2}{(x+y+z)^2}$

[Bonjour]

Tổng quát ta có: Nếu $P(x,y,z)$ thì phương tích điểm $P$ đối với $(O)$ là $-\dfrac{yza^2+zxb^2+xyc^2}{(x+y+z)^2}$

Lạc đề! Ở đây không hỏi về phương tích 

[Changg Changg]

Lạc đề! Ở đây không hỏi về phương tích 

Chẵng lẽ hệ thức trên không là phương tích điểm $G$ đối với $(O)$