Tìm $m,n \in \mathbb{Z} (m,n > 0)$ thỏa $m^{2}+8n, n^{2}+8m$ là số chính phương.
Tìm $m,n \in \mathbb{Z} (m,n > 0)$ thỏa $m^{2}+8n, n^{2}+8m$ là số chính phương.
#1
Đã gửi 21-08-2015 - 22:02
Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.
#2
Đã gửi 22-08-2015 - 17:21
Tìm $m,n \in \mathbb{Z} (m,n > 0)$ thỏa $m^{2}+8n, n^{2}+8m$ là số chính phương.
Không mất tính tổng quát giả sử $m\leq n$,ta có
$n^{2}< n^{2}+8m\leq n^{2}+8n< n^{2}+8n+16=(n+4)^{2}\Rightarrow \begin{bmatrix} n^{2}+8m=n^{2}+2n+1 & & \\ n^{2}+8m=n^{2}+4n+4 & & \\ n^{2}+8m=n^{2}+6n+9 & & \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 8m=2n+1(VL) & & \\ 2m=n+1 & & \\ 8m=6n+9(VL) & & \end{bmatrix}\Leftrightarrow 2m=n+1$
Vì $2m$ chẵn nên $n$ lẻ.Đặt $n=2x+1\Rightarrow m=x+1(x\epsilon N)$
Nếu $x=0$ thì $m=n=1 (TM)$
Nếu $x>0$ vì $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}< x^{2}+18x+9< x^{2}+18x+81=(x+9)^{2}\Rightarrow x=2\Rightarrow m=3;n=5(TM)$
Vậy,$(m,n)=(3;5);(1;1)$
#3
Đã gửi 23-08-2015 - 09:52
Không mất tính tổng quát giả sử $m\leq n$,ta có
$n^{2}< n^{2}+8m\leq n^{2}+8n< n^{2}+8n+16=(n+4)^{2}\Rightarrow \begin{bmatrix} n^{2}+8m=n^{2}+2n+1 & & \\ n^{2}+8m=n^{2}+4n+4 & & \\ n^{2}+8m=n^{2}+6n+9 & & \end{bmatrix}$
$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 8m=2n+1(VL) & & \\ 2m=n+1 & & \\ 8m=6n+9(VL) & & \end{bmatrix}\Leftrightarrow 2m=n+1$
Vì $2m$ chẵn nên $n$ lẻ.Đặt $n=2x+1\Rightarrow m=x+1(x\epsilon N)$
Nếu $x=0$ thì $m=n=1 (TM)$
Nếu $x>0$ vì $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}< x^{2}+18x+9< x^{2}+18x+81=(x+9)^{2}\Rightarrow x=2\Rightarrow m=3;n=5(TM)$
Vậy,$(m,n)=(3;5);(1;1)$
Thiếu 1 nghiệm $(11;21)$
- O0NgocDuy0O yêu thích
Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh