Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm $m,n \in \mathbb{Z} (m,n > 0)$ thỏa $m^{2}+8n, n^{2}+8m$ là số chính phương.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
daotuanminh

daotuanminh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết

Tìm $m,n \in \mathbb{Z} (m,n > 0)$ thỏa $m^{2}+8n, n^{2}+8m$ là số chính phương.


Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.


#2
hoctrocuaHolmes

hoctrocuaHolmes

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1013 Bài viết

Tìm $m,n \in \mathbb{Z} (m,n > 0)$ thỏa $m^{2}+8n, n^{2}+8m$ là số chính phương.

Không mất tính tổng quát giả sử $m\leq n$,ta có

$n^{2}< n^{2}+8m\leq n^{2}+8n< n^{2}+8n+16=(n+4)^{2}\Rightarrow \begin{bmatrix} n^{2}+8m=n^{2}+2n+1 & & \\ n^{2}+8m=n^{2}+4n+4 & & \\ n^{2}+8m=n^{2}+6n+9 & & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 8m=2n+1(VL) & & \\ 2m=n+1 & & \\ 8m=6n+9(VL) & & \end{bmatrix}\Leftrightarrow 2m=n+1$

Vì $2m$ chẵn nên $n$ lẻ.Đặt $n=2x+1\Rightarrow m=x+1(x\epsilon N)$

Nếu $x=0$ thì $m=n=1 (TM)$

Nếu $x>0$ vì $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}< x^{2}+18x+9< x^{2}+18x+81=(x+9)^{2}\Rightarrow x=2\Rightarrow m=3;n=5(TM)$

Vậy,$(m,n)=(3;5);(1;1)$



#3
daotuanminh

daotuanminh

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 253 Bài viết

Không mất tính tổng quát giả sử $m\leq n$,ta có

$n^{2}< n^{2}+8m\leq n^{2}+8n< n^{2}+8n+16=(n+4)^{2}\Rightarrow \begin{bmatrix} n^{2}+8m=n^{2}+2n+1 & & \\ n^{2}+8m=n^{2}+4n+4 & & \\ n^{2}+8m=n^{2}+6n+9 & & \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 8m=2n+1(VL) & & \\ 2m=n+1 & & \\ 8m=6n+9(VL) & & \end{bmatrix}\Leftrightarrow 2m=n+1$

Vì $2m$ chẵn nên $n$ lẻ.Đặt $n=2x+1\Rightarrow m=x+1(x\epsilon N)$

Nếu $x=0$ thì $m=n=1 (TM)$

Nếu $x>0$ vì $x^{2}+6x+9=(x+3)^{2}< x^{2}+18x+9< x^{2}+18x+81=(x+9)^{2}\Rightarrow x=2\Rightarrow m=3;n=5(TM)$

Vậy,$(m,n)=(3;5);(1;1)$

Thiếu 1 nghiệm $(11;21)$


Mọi việc làm thành công trên đời đều bắt nguồn từ sự hy vọng.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh