Chủ đề này có 1 trả lời

[nhimtom]

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O), các đường cao BE, CF. Tiếp tuyến (O) tại BC cắt nhau tại S, đường thẳng BC, SO cắt nhau tại M. Chứng minh rằng

a. ^CAM=^BAS

b.  NP//OM

[vkhoa]

a)
AS cắt BC tại P, cắt EF tại H, cắt cung nhỏ BC tại G
AM cắt (O) tại D
Có $\triangle SGB\sim\triangle SBA$ (g, g)
=>$\frac{SG}{SB} =\frac{SB}{SA} =\frac{GB}{BA}$
=>$\frac{SG}{SA} =\frac{SG}{SB} .\frac{SB}{SA} =(\frac{GB}{BA})^2$
cminh tương tự có $\frac{SG}{SA} =(\frac{GC}{CA})^2$
=>$\frac{GB}{BA} =\frac{GC}{CA}$
mặt khác $\frac{PG}{PA} =\frac{PG}{PB} .\frac{PB}{PA}$
$=\frac{GC}{BA} .\frac{GB}{CA}$ (vì $\triangle PGC\sim\triangle PBA, \triangle PGB\sim\triangle PCA$)
$=\frac{GC}{CA} .\frac{GB}{BA} =(\frac{GB}{BA})^2$
=>$\frac{PG}{PA} =\frac{SG}{SA}$
<=>$\frac{GP}{GS} =\frac{AP}{AS}$ (1)
Gọi G' là điểm trên AS sao cho MP là phân giác trong góc AMG'
mà MS $\perp$ MP =>MS là phân giác ngoài góc AMG'
=>$\frac{PG'}{PA} =\frac{SG'}{SA}$
<=>$\frac{G'P}{G'S} =\frac{AP}{AS}$ (2)
từ (1, 2) =>G' trùng G
=>MS phân giác góc GMD
=>G đối xứng D qua OS
=>cung BG =cung CD
=>$\widehat{BAG} =\widehat{CAM}$ (đpcm)
b)
có $\widehat{HAF} =\widehat{MAC}$
và $\widehat{HFA} =\widehat{MCA}$ (vì BCEF nội tiếp)
=>$\triangle HAF \sim\triangle MAC$ (g, g)
=>$\frac{HF}{MC} =\frac{FA}{CA} =\frac{EF}{BC}$ (vì $\triangle AEF\sim\triangle ABC$)
$=\frac{EF}{2 .MC}$
=>$EF =2 .HF$ =>H trung điểm EF
mà $ME =MF =\frac{BC}{2}$
=>$\widehat{MHN} =90^\circ$ (3)
ta có $\triangle AHF\sim\triangle AMC$ (cm trên)
=>$\widehat{AHF} =\widehat{NHP} =\widehat{AMC}$
=>HNMP nội tiếp
=>$\widehat{NPM} =\widehat{NHM}$ (4)
từ (3, 4) =>NP //OM (đpcm)

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vkhoa: 28-08-2015 - 21:27