Gọi $d$ là $GCD$ của $2$ số nguyên dương $a$ và $b$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $m,n$ sao cho $am+bn=d$.
Spoiler
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 26-08-2015 - 20:26
CHỨNG MINH tồn tại các số nguyên $m,n$ sao cho $am+bn=d$.
Bắt đầu bởi O0NgocDuy0O, 26-08-2015 - 12:21
#1
Đã gửi 26-08-2015 - 12:21
O0NgocDuy0O
-
- Thành viên
-
- 760 Bài viết
Trung úy
- Minhnguyenthe333, ZzThuyDuongzZ và kunsomeone thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
#2
Đã gửi 27-08-2015 - 17:33
Minhnguyenthe333
-
- Thành viên
-
- 804 Bài viết
Trung úy
Gọi $d$ là $GCD$ của $2$ số nguyên dương $a$ và $b$. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên $m,n$ sao cho $am+bn=d$.
Spoiler
Từ giả thiết ta có: $a\vdots d,$ $b\vdots d$ nên $am\vdots d,$ $bn\vdots d\Rightarrow am+bn\vdots d$ nên tồn tại $m,n$ nguyên sao cho $am+bn=d$
- O0NgocDuy0O yêu thích
#3
Đã gửi 27-08-2015 - 19:49
O0NgocDuy0O
-
- Thành viên
-
- 760 Bài viết
Trung úy
Từ giả thiết ta có: $a\vdots d,$ $b\vdots d$ nên $am\vdots d,$ $bn\vdots d\Rightarrow am+bn\vdots d$ nên tồn tại $m,n$ nguyên sao cho $am+bn=d$
Theo mình nghĩ làm vậy vẫn chưa đủ vì nó không dễ đến thế 
Gọi $D=am_{0}+bn_{0}$ là số nhỏ nhất trong tập hợp các số có dạng $am+bn$. Cho $C=am+bn$ là số bất kì trong tập hợp này.
Dễ dàng chứng minh được $C$ chia hết cho $D$.
Khi đó $\left\{\begin{matrix} a=a.1+b.0\vdots D\\ b=a.0+b.1\vdots D \end{matrix}\right.\Leftrightarrow D\in$ Ư$(a,b)$$\Leftrightarrow d\vdots D$.
Tương tự, chứng minh $D\vdots d$ như sau: $d\in$ ƯCLN$(a,b)$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a\vdots d\\ b\vdots d \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} am_{0}\vdots d\\ bn_{0}\vdots d \end{matrix}\right.\Leftrightarrow am_{0}+bn_{0}\vdots d\Leftrightarrow D\vdots d$.
Suy ra $d=D$. Từ đó có ĐPCM.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi O0NgocDuy0O: 28-08-2015 - 11:27
- Minhnguyenthe333, ZzThuyDuongzZ và kunsomeone thích
"...Từ ngay ngày hôm nay tôi sẽ chăm chỉ học hành như Stardi, với đôi tay nắm chặt và hàm răng nghiến lại đầy quyết tâm. Tôi sẽ nỗ lực với toàn bộ trái tim và sức mạnh để hạ gục cơn buồn ngủ vào mỗi tối và thức dậy sớm vào mỗi sáng. Tôi sẽ vắt óc ra mà học và không nhân nhượng với sự lười biếng. Tôi có thể học đến phát bệnh miễn là thoát khỏi cuộc sống nhàm chán khiến mọi người và cả chính tôi mệt mỏi như thế này. Dũng cảm lên! Hãy bắt tay vào công việc với tất cả trái tim và khối óc. Làm việc để lấy lại niềm vui, lấy lại nụ cười trên môi thầy giáo và cái hôn chúc phúc của bố tôi. " (Trích "Những tấm lòng cao cả")
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
